Материал: Методические указания к проведению практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам. Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества. Сотникова О.А., Мартыненко Г.Н
Квт
Полученные результаты могут быть записаны следующим, образом:
то есть истинное значение среднего квадратического отклонения результатов наблюдений с вероятностью 90% лежит о интервале 0,0020 ... ... 0,0034 кВт.
Обратим внимание на то, что таблица Х2 - распределения ограничена числом степеней свободы k=30. В случае необходимости определения доверительных границ для σ при больном числе измерений n>31 пользу-
ются приближенной формулой для Х k , p
(50)
где tp определяется из условия Ф(z= tp)=P, а значения Р принимаются равными q/2 и 1-q/2.
Границы доверительного интервала для σx будут найдены по значениям Хк полученным по (50)
Задача 1.6. Предположим, что в предыдущем примере Sθ было получено на основании измерений, число которых n=42. Требуется найти границы для среднего квадратического отклонения с той же доверительной вероятностью α=0,9 то есть q/2=0,05; 1-q/ 2=0,95.
Пояснения к решению задачи 1.6.
Для указанных значений вероятностей по табл.П.3 найдем
Величины Х при k=42-1=41составляют:
Подставив полученные значения в (50) находим
Квт
Квт
21
Следовательно, увеличение числа измерений с 20 до 42 (более в 2 раза) дало незначительное сужение доверительного интервала среднего квадратического отклонения: было 2,0 ... 3,4 стало 2,1... 3,1 кВт.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ
2.1. Определение статистических параметров распределения на основе построения гистограммы
На практике параметры распределения определяют математической обработкой ограниченного числа результатов наблюдений, называемого выборкой. Множество результатов наблюдений, из которого произведена выборка, называется генеральной совокупностью результатов наблюдений.
Пусть n объём выборки. При этом наименьший размер равен Хmin а
наибольший Хmax.
Для построения эмпирических кривых распределения необходимо разбить весь полученный диапазон Хmax- Хmin , на r интервалов.
Число интервалов при небольшие выборках следует брать округленным r≈ 
n . При больших выборках число интервалов устанавливают в зависимости от числа наблюдений по следующим рекомендациям:
n |
r |
40-100 |
7-9 |
100-500 |
8-12 |
5 000-10 000 |
10-16 |
Длину интервалов удобнее выбирать одинаковой. Однако если распределение имеет резкие скачки о соседних интервалах, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.
Причину интервала следует выбирать удобной для графических работ по отношению к делениям по оси Х .
Нижнюю границу первого интервала не следует брать равной Хmin, если она не соответствует удобному значении на ocи Х.
При обработке результатов предпочтительнее (с целью уменьшения ошибок при вычислениях) пользоваться отклонениями размеров физических величин, а не самими размерами.
Число размеров mi , попавших в заданный i-тый интервал по усло-
вию
Xin X j XiB |
(51) |
называют частотой.
22
В неравенстве (51) Хј - результат ј -того наблюдения выборки, в которой j= 1, ...,n; xiB- верхняя граница i-того интервала; хiH-нижняя граница i-того интервала, равная верхней границе (i-1)-го интервала. Среднее значение интервала обозначается xi.
Сумма частот mi должна быть равна числу n, то есть
r |
|
mi n |
(52) |
i 1
Отношение частоты mi к общему числу наблюдений n называют частью и обозначают Pi *
P |
mi |
(53) |
|
||
i |
n |
|
|
|
Частность представляет собой эмпирическую оценку вероятности попадания результатов наблюдений Хj в i-тый интервал. Очевидно, что
r |
|
|
Pi |
1 |
(54) |
i 1
Для наглядности эмпирическое распределение можно представить графически в виде полигона или гистограммы распределения, а также ступенчатой функции распределения.
Полигон строят следующим образом: на оси абсцисс откладывают интервалы значений измеряемой величины, в серединах интервалов отмечают ординаты, пропорциональные частотам или частостям, и ординаты соединяют пряными линиями. При выборе масштабов по осям абсцисс и ординат выдерживают соотношение P* :R≈5:8, наиболее распространённое при изображении кривых распределения.
Гистограмму строят так: над каждым интервалом по оси абсцисс строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна частости Pi* в этом интервале, а высота будет пропорциональна частоте при одинаковых интервалах. При различных значениях ∆х высота прямоугольника будет пропорциональна эмпирической плотности вероятностей
P |
P |
|
|
i |
, |
(55) |
|
|
|||
i |
|
|
|
xi
Ступенчатую функцию распределения строят следующим образом: в середине каждого интервала по оси абсцисс ордината возрастает скачком на значение, соответствующее Рi*, и оттуда проводят горизонтальную прямую до середины следующего интервала, где она снова возрастает. Высота ординаты в каждой точке соответствует эмпирической интегральной функции распределения
23
i |
i |
1 |
|
|
|
Fi Pi |
|
(mi ) , |
(56) |
||
n |
|||||
i 1 |
i 1 |
|
|
Значение Fi* для каждого интервала называют комулятивной частостью, а
i
сумму mi - комулятивной частотой.
i1
Спомощью гистограммы распределения можно рассчитать параметры
распределения, пользуясь следующими формулами: для среднего арифметического
|
|
r |
r |
mi |
|
|
r |
|
|
|
|
xi Pi |
xi |
|
1 |
ximi , |
|
||
X |
(57) |
||||||||
n |
n |
||||||||
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
i 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
для оценки дисперсии
Задача 2.1. Объем выборки n составляет 200 шт. Наименьший размер Qmin равен 31,98 кДж., а наибольший Qmax= 32,0295 кДж. Приняв число интервалов разбиения равным 10, а длину интервала 5 Дж, исходные данные запишутся в виде табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные рассеяния размеров физической величины
Номера интерва- |
Границы интервалов, Дж |
|
|
|
|
Частота mi |
|
|
|
||
лов |
|
|
|
ХН |
ХВ |
|
|
|
|
||
1 |
-20 |
-15 |
7 |
2 |
-15 |
-10 |
11 |
3 |
-10 |
-5 |
15 |
4 |
-5 |
0 |
24 |
5 |
0 |
+5 |
49 |
24
|
|
|
Окончание табл. 1 |
|
6 |
+5 |
+10 |
41 |
|
7 |
+10 |
+15 |
26 |
|
8 |
+15 |
+20 |
17 |
|
9 |
+20 |
+25 |
7 |
|
10 |
+25 |
+30 |
3 |
|
Построить графики эмпирических кривых распределения - полигон, гистограмма и ступенчатую функцию распределения.
Пояснения к решению задачи 2.1.
Результаты подсчета частостей, средних значений интервалов и эмпирических плотностей вероятностей Рi* сведены в табл.2.
Таблица 2 Данные расчета рассеяния размеров физической величины
Номера |
Частность |
Середина |
Эмпирическая плот- |
|
ность вероятности |
||||
интервалов |
Рi*=m/n |
интервала xi |
||
Рi* |
||||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
0,035 |
-17,5 |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
2 |
0,055 |
-12,5 |
0,011 |
|
|
|
|
|
|
3 |
0,075 |
-7,5 |
0,015 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0,120 |
-2,5 |
0,024 |
|
|
|
|
|
|
5 |
0,245 |
+2,5 |
0,049 |
|
|
|
|
|
|
6 |
0,205 |
+7,5 |
0,041 |
|
|
|
|
|
|
7 |
0,130 |
+12,5 |
0,026 |
|
|
|
|
|
|
8 |
0,085 |
+17,5 |
0,017 |
|
|
|
|
|
|
9 |
0,360 |
+22,5 |
0,007 |
|
|
|
|
|
|
10 |
0,015 |
+27,5 |
0,003 |
|
|
|
|
|
На рис. 7 представлена графики эмпирических кривых распределения: на рис.7.а - полигон; на рис.7.б - гистограмма; на рис.7.в - ступенчатая функция распределения.
2.2. Проверка нормальности результатов наблюдения
Можно составить себе представление (по крайней мере, с качественной стороны) о большей или меньшей близости теоретического и эмпирического
25