Материал: Методические указания к решению задач по физике по теме «Электростатика» для студентов направлений «Машиностроение» и «Нефтегазовое дело». Агапитова Н.В., Деркачёва П.И

Выразив из формулы заряд диска :

найдем искомую силу F из соотношения :

(3)

Подставив в (3) вместо и их значения по формулам (1) и (2), получим:

Выполнив вычисления, найдем Н.

Примечание. Как видно из формулы (4), сила взаимодействия дисков не зависит от расстояния между ними. Но это будет, пока выполняется неравенство и диск можно рассматривать как бесконечную плоскость. При достаточно большом расстоянии между дисками, когда , заряды дисков можно считать точечными и силу взаимодействия между ними рассчитывать по закону Кулона.

Работа. Энергия системы зарядов

Задача 1.17. Две частицы, обладающие массами m₁ и m₂ и зарядами +q₁ и +q₂, движутся навстречу друг другу, имея вдалеке относительную скорость _отн. На какое наименьшее расстояние сблизятся частицы.

Рассмотрим движение частиц в какой-либо «лабораторной» системе отсчета, например, связанной с Землей. Полагая систему двух заряженных частиц изолированной, воспользуемся законом сохранения энергии: где W – полная энергия частиц. Последние обладают в каждый момент времени кинетической энергией, а также потенциальной энергией кулоновского взаимодействия.

Когда частицы находятся вдалеке друг друга, то их потенциальной энергией можно пренебречь.

Тогда полная энергия системы равна:

где и – скорости частиц в выбранной системе отсчета.

Так как векторы и направлены противоположно, то значения и связаны с заданной относительной скоростью _отн соотношением:

При сближении частиц потенциальная энергия их кулоновского взаимодействия (отталкивания), будучи величиной положительной, начнет увеличиваться. Следовательно, суммарная кинетическая энергия частиц станет уменьшаться. Частицы не могут как угодно близко подойти друг к другу, иначе их потенциальная энергия оказалась бы больше полной энергии W₁, противоречит условию .

При наибольшем сближении частиц, когда расстояние между ними равно r_min полная энергия равна:

где W_min – кинетическая энергия системы.

Чтобы найти W_min, учтем, что в момент наибольшего сближения частиц их скорости будут одинаковыми: . Действительно, когда скорости частиц неодинаковые, расстояние между ними растет или уменьшается и, следовательно, не является минимальным.

Применив к системе закон сохранения импульса, запишем:

где - импульс системы удаленных частиц, - импульс системы при наибольшем сближении. При этом вектор предположительно выбран совпадающим по направлению с вектором (очевидно, при подсчете кинетической энергии направление скорости несущественно).

Из уравнения (4) имеем:

,

тогда для величины W_min получим:

Подставив (5)в (3) и приравняв правые части (1) и (3) на основе закона сохранения энергии, а также учитывая (2), найдем:

.

Задача 1.18. Четыре одинаковых точечных заряда q расположены на одной прямой, на расстоянии r друг от друга. Какую работу надо совершить, чтобы переместить эти заряды в вершины тетраэдра со стороной r? Среда — вакуум.

Р ешение

Р

Рис. 1.15

(1)

Энергия системы N точечных зарядов определяется формулой:

,

здесь q – заряд в некоторой точке, – потенциал поля в этой же точке, созданного зарядами системы.

Запишем эту формулу применительно к системе четырех зарядов, расположенных на одной прямой:

здесь , , , – потенциалы поля, созданного в точках 1, 2, 3, 4 остальными зарядами, не считая того заряда, который находится в данной точке.

Потенциал поля в точке 1, созданного зарядами в точках 2, 3, 4 равен:

В силу симметрии . (4)

Потенциал в точке 2, созданного зарядами в точках 1, 3, 4 равен:

В силу симметрии . (6)

Подставим (3)-(6) в (2):

Теперь определим энергию системы зарядов , расположенных в вершинах тетраэдра. Очевидно, что энергия заряда в одной вершине равна:

,

где – потенциал поля, созданного в этой вершине каждым из остальных трех зарядов.

В силу симметрии вся энергия этой системы четырех зарядов будет в четыре раза больше:

, где .

Поэтому (8)

Поставим (7) и (8) в (1):

Ответ: .

Задача 1.19. В однородное электростатическое поле напряжённостью =700 перпендикулярно полю поместили стеклянную пластину толщиной =1,5 , площадью =200 и относительной диэлектрической проницаемостью =7. Определить: 1) поверхностную плотность связанных зарядов на стекле; 2) энергию электростатического поля, сосредоточенную в пластине.