Материал: Методические указания к решению задач по физике по теме «Электростатика» для студентов направлений «Машиностроение» и «Нефтегазовое дело». Агапитова Н.В., Деркачёва П.И

При (поверхность сферы ) заряд равен по условию задачи, тогда согласно теореме Гаусса, можно записать равенство:

.

Так как , то из условий симметрии следует

или , откуда

(2)

Аналогично, при

,

где , тогда .

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом , несущей заряд , на расстоянии от центра сферы равен:

внутри сферы E = 0, потенциал одинаков и равен потенциалу на поверхности сферы ;

на поверхности сферы ;

вне сферы .

Следовательно, ; .

Подставив числовые значения, получим:

; ;

;

;

.

Графики зависимостей представлены соответственно на рис. 1.8 и рис. 1.9.

Рис. 1.8 Рис. 1.9

Ответ: , ;

Задача 1.9. Электрическое поле создано бесконечно длинным равномерно заряженным с поверхностной плотностью заряда цилиндром радиусом Определить изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис 1.10).

Дано:

Решение

П

Рис. 1.10

о теореме Гаусса рассчитаем напряжен­ность поля цилиндра: ок­ружим заряженный ци­линдр коаксиальным вспомогательным цилин­дром высоты и радиу­сом (рис. 1.10). За­пишем поток вектора через этот цилиндр и приравняем его к заряду внутри цилин­дра: .

По теореме Гаусса , откуда после сокращения на получим

. (1)

Далее, используя связь напряжённости с разностью потенциалов, найдём

Тогда изменение потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 равно

Ответ: 229эВ.

Диэлектрики

Задача 1.10. Диполь с электрическим моментом свободно установился в однородном электрическом поле напряжённостью . Определить изменение потенциальной энергии диполя при повороте его на угол (рис.1.11).

Дано:

U2 – U1 - ?

Решение

Н

Рис 1.11

а диполь с электрическим мо­ментом в однород­ном электрическом поле действует мо­мент пары сил . В равновесном положении ди­поля векторы и параллельны и оди­наково направлены. Элементарная работа внешних сил при повороте диполя на угол :

,

а полная работа при повороте на угол от до :

Изменение потенциальной энергии диполя при повороте его из равновесного положения на угол равно работе внешних сил над диполем:

Ответ: .

Задача 1.11. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено стеклом . Расстояние между пластинами , разность потенциалов . Определить: 1)напряжённость поля в стекле; 2)поверхностную плотность заряда на пластинах конденсатора; 3)поверхностную плотность связанных зарядов на стекле.

Дано:

Решение

Так как электрическое поле между пластинами плоского конденсатора однородное, то

, (1)

С другой стороны напряжённость поля равна

и (2)

Для определения поверхностной плотности связанных зарядов на стекле воспользуемся тем, что поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности .

,

где - вектор электрического смещения для электрически изотропной среды. Следовательно,

(3)

Подставив числовые значения в выражения (1), (2), (3), найдём:

,

,

.

Ответ: .

Задача 1.12. Между пластинами плоского конденсатора помещено два слоя диэлектрика – слюдяная пластина толщиной и парафин толщиной . Определить: 1)напряжённость электрических полей в слоях диэлектрика; 2)электрическое смещение, если разность потенциалов между пластинами конденсатора .

Дано:

Решение

Плоский конденсатор с двумя слоями диэлектриков можно рассматривать как два конденсатора соединённых последовательно, тогда

, (1)

Электрическое смещение равно

(2)