Материал: Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Математическое обеспечение САПР». Пак А.А

(32)

. (33)

Здесь разностное уравнение (32) записано в общем виде, а конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной. Для каждого численного метода получается свой вид уравнения (32).

Одношаговые методы. Простейшим численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Он основан на разложении искомой функции Y(x) в ряд Тейлора в окрестностях узлов в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высокого порядков. Запишем это разложение в виде

(34)

Заменим значения функции Y в узлах значениями сеточной функции y_i . Кроме того, используя уравнение (30), полагаем

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т.е. . Учитывая введенные обозначения и пренебрегая членами порядка , из равенства (34) получаем

(35)

Полагая i=0, с помощью соотношения (35) находим значение сеточной функции y₁ при x=x₁:

Требуемое здесь значение y₀ задано начальным условием (31), т.е. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого алгоритма представлена соотношениями (35). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции в узле вычисляется по её значению в предыдущем узле .

Рассмотрим вопрос о погрешности метода Эйлера. Погрешность e_i в точке x_i равна разности между значением сеточной функции y_i и точным значением искомой функции Эта погрешность состоит из двух частей: определяется погрешностью начального значения Как правило, начальное значение задается точно, т.е. и тогда и, следовательно, равна нулю та часть погрешности решения , которая связана с Погрешность обусловлена отброшенными членами в разложении в ряд Тейлора (34). На каждом шаге эта погрешность имеет порядок , так как именно члены такого порядка отброшены в (34).

Пример. Найти решение задачи Коши методом Эйлера на отрезке [0; 0.4] с шагом h=0.1.

Решение. Здесь , , , .

Используя рекуррентные формулы

,

последовательно находим

при :

при :

при :

при :

Решение задачи Коши представлено в таблице

Существуют и другие явные одношаговые методы. Наиболее распространенным из них является метод Рунге–Кутта. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведем схему Рунге–Кутта четвертого порядка. Вычисление приближенного значения в точке производится по следующим формулам

,

(36)

Таким образом, метод Рунге–Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения .

Все вычисления удобно производить по следующей схеме.

Порядок заполнения таблицы.

1. Записать в первой строке таблицы данные значения , .

1. Вычислить и записать в таблицу в качестве .

2. Во второй строке таблицы записать , .

3. Вычислить и записать в таблицу в качестве .

4. В третьей строке таблицы записать , .

5. Вычислить и записать в таблицу в качестве .

6. В четвертую строку таблицы записать , .

7. Вычислить и записать в таблицу в качестве .

8. В столбец записать числа , , , , просуммировать эти числа, полученную сумму разделить на 6 и записать в таблицу в качестве .

9. Вычислить . Затем все вычисления продолжаем в том же порядке, принимая за начальную точку . Результаты вычислений записать в следующий блок таблицы.

Метод Эйлера может рассматриваться как метод Рунге–Кутта первого порядка. Метод Рунге–Кутта (36) требует большего объема вычислений, однако окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить счет с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге–Кутта.

Пример. Методом Рунге – Кутта найти решение задачи Коши на отрезке , приняв шаг h=0.1.

Решение. Покажем начало процесса.

Вычисление Последовательно имеем

Отсюда и, следовательно,

Аналогично вычисляются дальнейшие приближения. Результаты вычислений приведены в таблице 5.

Таблица 5