Материал: Методические указания к выполнению контрольной работы по дисциплине «Математическое обеспечение САПР». Пак А.А

(23)

(24)

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках отрезков (в полуцелых узлах):

, (25)

, .

В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляется в виде ломаной, соединяющий точки . В этом случае площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) складывается из площадей прямолинейных трапеций (рис. 3).

Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

.

Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:

. (26)

Рис. 3

Важным частным случаем этих формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом ( . Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид:

(27)

. (28)

Метод Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке …, , …, подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени:

.

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки , , :

.

Элементарная площадь (рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла.

Рис. 4

Учитывая равенства , получаем

Проведя такие вычисления для каждого отрезка , просуммируем полученные выражения:

.

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(29)

Полученное соотношение (29) называется формулой Симпсона.

Пример. Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Решение. Используем для вычисления интеграла формулы прямоугольников и трапеций. Для этого разобьем отрезок интегрирования [0,1] на десять равных частей: n=10, h=0.1. Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения , а также в полуцелых точках , . Результаты вычислений занесем в таблицу 4.

Таблица 4

6. Решение дифференциальных уравнений

Общие сведения. Требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(30)

и принимающую при x=x₀ заданное значение

(31)

При этом будем для определенности считать, что решение надо получить при .

Из курса дифференциальных уравнений известно, что решение задачи (30)-(31) существует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть уравнения (30), являющаяся функцией двух переменных x, Y, удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное гладкое решение .

Численное решение задачи Коши (30)-(31) состоит в том, чтобы получить искомое решение в виде таблицы его приближенных значений для заданных значений аргумента x на некотором отрезке [a,b]:

Для решения задачи Коши (30)-(31) будем использовать разностные методы. Введем последовательность точек и шаги . Точки называют узлами, а множество этих точек называют сеткой. В каждой точке вместо значений функции вводятся числа , аппроксимирующие точное решение на данном множестве точек. Функцию Y, заданную в виде таблицы , называют сеточной функцией.

Далее, заменяя значение производной в уравнении (30) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциальной задачи (30), (31) относительно функции y:

По формуле прямоугольников (27) получим .

Вычислить значение интеграла по методу Симпсона. Значения функции при n=10, h=0.1 приведены в таблице 1. Применяя формулу (29), находим:

.

Задание 5

Вычислить интеграл методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Варианты

0. 1. 2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.

9.