Материал: Методические указания к выполнению контрольных работ по физике для студентов факультета заочного обучения по направлению «Строительство». Никишина А.И., Тарханов А.К

с линейной скоростью : , (1.10)

с линейной частотой ν: , (1.11)

с периодом колебаний Т: . (1.12)

10. Угловое ускорение ε связано с тангенциальной составляющей линейного ускорения a_τ соотношением:

. (1.13)

11. Угловая скорость ω связана с нормальной составляющей линейного ускорения a_n соотношением:

. (1.14)

Динамика Поступательное движение

12. Второй закон Ньютона:

. (1.15)

– геометрическая сумма сил, действующих на тело, m – масса тела.

13. Третий закон Ньютона:

, (1.16)

где – сила, действующая на первое тело со стороны второго, а – сила, действующая на второе тело со стороны первого.

14. Силы в механике:

    • сила упругости , где x – величина упругой деформации тела, k – коэффициент упругости;

• сила тяжести , где – ускорение свободного падения;

• сила трения (скольжения) , где μ – коэффициент трения,

N – сила нормального давления (сила реакции опоры).

15. Импульс материальной точки (твердого тела) массой m:

. (1.17)

16. Закон сохранения импульса изолированной системы тел:

. (1.18)

17. Кинетическая энергия тела:

. (1.19)

18. Потенциальная энергия:

    • упругодеформированной пружины , (1.20)

где k – жесткость пружины, x – величина деформации;

• тела, находящегося в однородном поле силы тяжести , (1.21)

где h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (имеется при этом в виду, что h<<R, где R – радиус Земли).

19. Закон сохранения механической энергии:

, (1.22)

где E – полная энергия изолированной системы.

20. Работа постоянной силы:

, (1.23)

где S – перемещение тела под действием силы F, α – угол между направлением силы и направлением перемещения.

21. Связь работы сил, действующих на тело, и кинетической энергии тела:

, (1.24)

где ΔE – изменение полной энергии системы под действием внешних сил.

Вращательное движение

22. Модуль момента силы относительно неподвижной точки О:

, (1.25)

где r – модуль радиус-вектора, проведенного из точки О, через которую проходит ось вращения в точку приложения силы F; α – угол между радиус-вектором и вектором силы. Направление вектора момента силы совпадает с направлением поступательного движения правового винта при его вращении от к .

23. Основной закон динамики вращательного движения:

, (1.26)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, – угловое ускорение.

24. Момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс для:

    • полого цилиндра (обруча) радиусом R ; (1.27)

    • сплошного цилиндра (диска) радиусом R ; (1.28)

    • прямого тонкого стержня длиной l ; (1.29)

    • шара радиусом R . (1.30)

25. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

, (1.31)

где ω – угловая скорость.

26. Кинетическая энергия катящегося тела:

. (1.32)

Примеры решения задач по теме №1

Пример 1.1. Автобус движется со скоростью 18 км/ч. С некоторого момента он начинает двигаться с ускорением a в течение 10 с, а последние 110 м проходит за одну секунду. Определить ускорение и конечную скорость автобуса.

Дано: =18 км/ч=5м/с,

t₁=10 с,

t₂=1 с,

S₂=110 м.

Найти: a,

Решение

В есь путь, проделанный автобусом, делится на два S₁ и S₂ (рис.1).

Рис. 1.

Запишем для двух этих участков уравнения движения:

; (1.1.1)

(1.1.2)

и законы изменения скорости:

; (1.1.3)

. (1.1.4)

Подставим (1.1.3) в (1.1.2):

. (1.1.5)

Выразим a:

. (1.1.6)

Подставим в (1.1.6) числовые данные:

.

Теперь подставим (1.1.3) в (1.1.4) и вычислим конечную скорость:

.

Ответ: ускорение автобуса a=10м/с², конечная скорость автобуса =115м/с.

Пример 1.2. Колесо вращается с частотой 180об/мин. С некоторого момента колесо начинает вращаться равнозамедленно с угловым ускорением 3 рад/с². Через какое время колесо остановится? Найти число оборотов колеса до остановки.

Дано: ν = 180об/мин=3об/с,

ε = 3 рад/с².

Найти: t, n.

Решение

Запишем уравнение движения тела, совершающего равноускоренное, вращательное движение:

(1.2.1)

и закон изменения скорости

. (1.2.2)

Здесь Δφ – угол поворота тела за время t, ω₀ и ω – угловая скорость тела в начальный момент времени и в момент времени t соответственно, ε – угловое ускорение.

Угол поворота Δφ связан с числом оборотов n соотношением:

. (1.2.3)

Начальную угловую скорость ω₀ найдем из соотношения:

. (1.2.4)

С учетом (1.2.3) и (1.2.4), а также с учетом того, что колесо движется равнозамедленно, перепишем (1.2.1):

. (1.2.5)

Из уравнения (1.2.2) найдем время до остановки колеса, т.е. время, когда угловая скорость ω стала равна нулю:

. (1.2.6)

Рассчитаем время t:

.

Теперь подставим (1.2.6) в (1.2.5):

. (1.2.7)

Выразим из (1.2.7) число оборотов n и подставим числовые данные:

.

Ответ: колесо остановится через 6,28 с; число оборотов n=9,4 оборота.

Пример 1.3. Шар массой 2 кг, движущийся горизонтально со скоростью =4 м/с, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

Дано: m₁ = 2 кг,

m₂ = 3 кг,

= 4 м/с,

= 0 м/с.

Найти: Q.

Решение

Запишем закон сохранения импульса:

. (1.3.1)

Здесь и – скорости первого и второго шаров до удара соответственно, u₁ и u₂ – скорости первого и второго шаров после удара соответственно. После неупругого столкновения тела движутся с одинаковой скоростью, поэтому u₁ = u₂ = u. Запишем проекцию уравнения (1.3.1) на направление движения шаров с учетом того, что =0 м/с:

. (1.3.2)

При неупругом ударе закон сохранения энергии не выполняется. Разность между энергией системы до удара (Е_К1) и энергией после удара (Е_К2) равна количеству теплоты, выделившемуся при ударе:

. (1.3.3)