Материал: Методические указания по математике к разделу «Дифференциальные уравнения» для студентов направления подготовки бакалавров «Нефтегазовое дело». Бырдин А.П., Зайцева М.И

Решение. Перепишем уравнение в виде . Отсюда получим

, .

Подставим начальное условие и найдем постоянную

, .

Следовательно, . Умножая обе части уравнения на и интегрируя, получим

, .

Используя начальное условие , получим , . Получим частное решение, удовлетворяющее начальным данным:

.

Рассмотрим ОДУ вида

, (1.15)

не содержащее искомую функцию у. Подстановка приводит уравнение (1.15) к уравнению первого порядка относительно функции : .

Решая это уравнение, находим функцию , а затем и

.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Вводим новую функцию , тогда . Подставив ее в уравнение, имеем

.

Это линейное уравнение первого порядка относительно и его решение разыскиваем в виде произведения

Учитывая требования (см. 1.3) , , находим функцию : подставляем в уравнение для определения

Отсюда

.

Таким образом, , и можно найти функцию y

,

Еще один тип уравнений, допускающий понижение порядка, следующий

. (1.16)

Это уравнение, не содержащее явно независимую переменную x.

Для его решения положим Тогда по правилу дифференцирования сложной функции, получим

;

Подставляя и в уравнение (1.16), получим уравнение первого порядка для вспомогательной функции

Решая его, найдем как функцию у и постоянной : , а затем найдем и из соотношения

Пример. Найти решение задачи Коши:

Решение. Это уравнение не содержит х и, следовательно, относится к типу (1.16). Делая замену и подставляя в уравнение, получим

.

Подставляя начальные данные найдем . Поскольку , то . Имеем

,

Подставляя , получим , после чего найдем у

Задачи для самостоятельного решения.

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

2. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением - го порядка называется уравнение вида

, (2.1)

где функции , непрерывны на интервале . Если функция на , то уравнение (2.1) называется линейным неоднородным уравнением. Если на , уравнение называется линейным однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения -го порядка имеет вид

где - произвольные постоянные;

- его частные линейно независимые решения.

Напомним, что функции называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие постоянные , что

(2.2)

при всех , причем . Если же равенство (2.2) имеет место лишь при , то функции называются линейно независимыми.

Общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

,

где - общее решение неоднородного уравнения;

- его частное решение;

- общее решение соответствующего однородного уравнения.

Частные линейно независимые решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами определяются по корням характеристического уравнения

Рассмотрим уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.