Материал: Методы и модели в расчетах на ЭВМ. методические указания к выполнению лабораторных и практических работ для студентов. Перова А.В

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра технологии машиностроения

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В РАСЧЕТАХ НА ЭВМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к выполнению лабораторных и практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»

(профили «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечно-штамповочного производства», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения»)

всех форм обучения

Воронеж 2021

УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7

Составитель канд. техн. наук А. В. Перова

Методы и модели в расчетах на ЭВМ: методические указания к выпол-

нению лабораторных и практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения») всех форм обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост.: А. В. Перова. − Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. − 24 с.

Содержат краткие теоретические сведения по математическому моделированию в машиностроении, методику и порядок выполнения практических работ, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами моделирования с использованием численных методов.

Предназначены для для студентов направления 15.03.05 «Конструктор- ско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения») всех форм обучения.

Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле Методичка_ММврЭВМ.pdf.

Ил. 11. Табл. 5. Библиогр.: 7 назв.

УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7

Рецензент − Е. В. Смоленцев, д-р техн. наук, проф. кафедры технологии машиностроения ВГТУ

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

2

ВВЕДЕНИЕ

Методические указания разработаны для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств».

Целью работы является помощь обучающимся в изучении дисциплины, выполнении практических и лабораторных работ. Также приводятся краткие теоретические сведения по математическому моделированию в машиностроении и конкретные примеры моделирования.

В методических указаниях представлены три практических занятия и две лабораторные работы. Дается порядок выполнения практических работ и рекомендации по их выполнению, которые позволят обучающимся систематизировать, углубить и конкретизировать теоретические знания.

3

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Цель работы: теоретическое изучение и получение практических навыков в определении экстремумов функции одной переменной классическим методом.

Теоретические сведения

Функция f(x) действительной переменной x имеет локальный минимум в точке xo, если существует некоторая положительная величина ∆, такая, что еслиx-xo < ∆, то f(x) ≥ f(xо), т.е. если существует окрестность точки xo, такая, что для всех значений x в этой окрестности величина f(x) больше f(xo). Функция f(x) имеет глобальный минимум в точке xmin , если для всех x справедливо неравенство f(x) ≥ f(xmin). С другой стороны функция f(x) имеет локальный максимум в точке xk, если существует некоторая положительная величина ∆, такая, что x-xo < ∆, то f(x) ≤ f(xk) , т.е. если существует окрестность точки xk, для которой при всех значениях x в этой окрестности величина f(x) меньше f(xk). Функция f(x) имеет глобальный максимум в точке xmax, если для всех x справедливо неравенство f(x) ≤ f(xmax).

На рис. 1.1. дано графическое представление функции f(x), которая имеет локальный минимум в точке xo и глобальный минимум в точке xmin.

На рис.1.2. дано графическое отображение функции f(x), имеющей локальный и глобальный максимумы в точках xk, xmax.

Классический метод нахождения точек экстремума (точкиxo, xmin, x на рис. 1.1 и точкиxk, xmax, xi на рис.1.2) заключается в поиске уравнений, решением которых являются эти точки. Функцииf(x), представленные на рис. 1.1 и 1.2, и их производные непрерывны, а в точках экстремума первая производнаяf′(x) равна нулю. Т.о. точки экстремума функции f(x) являются решениями уравнения:

При этом необходимо отметить, что решением уравнения (1.1) являются не только точки минимума и максимума функции f(x) (xo, xmin, xi на рис.1.1), но и точка горизонтального перегиба функции xc. Отсюда видно, что уравнение (1.1) является только необходимым условием экстремума, но не является достаточным.

Для определения характера экстремума возникает необходимость рассмотрения более высоких производных функции f(x). В точках локального и глобального минимума (рис. 1.1) xo, xmin первая производная функции f`(x) меняет знак с отрицательного на положительный; в точке xi (рис. 1.1) - с положительного на отрицательный, а в точке xc знак производной не меняется. Т.о. можно сделать вывод о том, что первая производная в минимуме является воз-

4

растающей функцией, а так как степень возрастания f`(x) измеряется второй производной, то для минимума функции f(x) справедливо неравенство f″(xo)>0 , f″(xmin) > 0. Аналогично, для точки максимума xi функции f(x): f″(xi) < 0.

Рис.1.1. Графическое представление функции f(x) имеющей локальные и глобальные минимумы в xo и xmin и

локальный максимум в xi

Рис.1.2. Функция f(x) с локальным в xk и глобальным в xmax максимумами и локальным минимумом в xi

Для определения различия между локальными и глобальными экстремумами необходимо сравнивать значения функции в точках минимума и макси-

мума f(x0) , f(xmin) , f(xi) (рис. 1.1).

Аналогично, данную задачу можно решить, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестностях точки экстремума x0 (xmin, xi) (рис.1.1). Для точки x0 функции f(x) можно записать:

при этом если в т. x0 достигается минимум, то левая часть уравнения отвечает неравенству f(x0 + h) - f(x0) ≥ 0 для любого достаточно малого значения h: /h/<∆.

Неравенство для случая, если в т. x0 достигается максимум. Выглядит следующим образом: (x0 +h) - f(x0) ≤ 0.

5