Материал: Методы и модели в расчетах на ЭВМ. методические указания к выполнению лабораторных и практических работ для студентов. Перова А.В
Можно сформулировать следующее правило определения характера экстремума функции:
Если функция f(x) и ее производные непрерывны, то точка x0 является точкой экстремума только в том случае, если порядок первой не обращающейся в нуль в точке производной n - четное число. При этом если f(x0) > 0, то в т. x0 достигается максимум, а если f(x0) > 0 - минимум.
Порядок выполнения работы
1.Задание на работу студент выбирает из таблицы 1.2 в соответствии со своим порядковым номером в списке группы.
2.Опираясь на теоретические сведения, приведенные выше, студент вычисляет первую производную исходной функции и определяет значение точек экстремума из уравнения (1.1).
3.Производится вычисление второй производной функции и определяется характер точек экстремума.
4.Определяются точки глобального минимума и максимума функции. Все результаты расчетов по п. 1 - 4 сводятся в табл.1.1.
5.Составляется алгоритм вычисления 1-й и 2-й производной исходной функции и поиска точек экстремума. Блок-схема алгоритма приводится в отчете.
6.Составляется программа на языке программирования для построения кривой исходной функции. Производится проверка результатов, полученных в п. 3-4.
Таблица 1.1
Результаты расчетов
f(x) |
f'(x) |
f"(x) |
|
|
Точки минимума |
|
|
Точки максимума |
|||||
x1min |
x2min |
ximin |
f(x1min) |
f(x2min |
f(ximin |
x1max |
|
x2max |
ximax |
f(ximax |
|||
|
|
|
|
|
|
|
) |
) |
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Содержание отчета
Отчет оформляется в тетради для лабораторных работ грамотно и аккуратно. Он должен содержать следующие разделы:
1.Название и цель работы, краткие теоретические сведения о классическом методе поиска экстремума функции одной переменной.
2.Исходная функция, ее первые и вторые производные, точки экстремума
(табл.1.1).
3.Блок-схема алгоритма.
4.Распечатка программы вычисления производных и построения графика функции и результаты расчета.
5.Сравнение результатов расчета "вручную" и на ЭВМ.
6.Выводы по работе.
6
Таблица 1.2
№ |
|
|
Функция |
№ |
Функция |
||||||
п/п |
|
|
п/п |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
4x3 + 4x 2 + x +1 |
14 |
x 4 −14x3 + 60x 2 +16 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
x3 − 6x 2 + 4x + 5 |
15 |
2x 4 − 7x3 − 4x 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
x3 − 2x 2 + x +1 |
16 |
5x 2 + lg x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
x 4 + x3 − 2x 2 |
17 |
x3 + x lg x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
2x 4 + 2x3 − 6x 2 +1 |
18 |
x 2 + e x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
x 4 + 2x3 −5x 2 + 7 |
19 |
x 2 + |
1 |
|
|
|||||
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|||
7 |
x3 |
−3,5x 2 + 4x |
20 |
1+ x lg x + e x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
0,3x3 |
+ 3,5x 2 |
+12x + 7,1 |
21 |
− e −x sh( |
x |
) |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
9 |
0,2x3 |
+1,6x 2 |
−8,4x + 0,5 |
22 |
e −x |
− Sinx |
|||||
10 |
x3 |
− 6x 2 − 28x + 3,1 |
23 |
e −x |
−Cosx |
||||||
11 |
0,3x3 |
+ 6x 2 |
+10x + 5 |
24 |
x(x −1)3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12 |
0,3x3 |
+ 6x 2 |
+10x + 5 |
25 |
3x 2 |
+ Sin 2 x |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
13 |
|
|
x(x −1)2 |
26 |
2x + Cosx |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте правило поиска экстремума функции классическим методом.
2.Необходимое и достаточное условие экстремума функции.
3.Для какого типа переменных и функций применим данный метод.
7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НЬЮТОНА
Цель работы: теоретическое изучение и получение практических навыков численного решения дифференциальных уравнений методом Ньютона.
Теоретические сведения
Если существует функция f(x) действительной переменной x непрерывная в каждой точке своей области определения и ее производная f’(x), то для приближенного решения уравнения f’(x) = 0 (т.е. для нахождения точек экстремума) можно построить приблизительный эскиз кривой y = f’(x). При этом можно найти два значения а и в, таких, что f`(a), f`(b) имеют противоположные знаки, то тогда в силу непрерывности функции и ее производной, существует корень
С уравнения f`(x) = 0, отвечающий условию (рис.2.1): |
|
a < c < b |
(2.1) |
В прямоугольной системе координат изобразим график функции y = f`(x) (рис.2.2). Решением уравнения y = f’(x) = 0 является точка К с координатами (xk,0), которые необходимо определить. В точке Р, принадлежащей кривой f’(x), проведем касательную к этой кривой - прямую РТ. Проекцией точки Р на ось абсцисс является точка А с координатами (x0,0). Можно сказать, что точка А является аппроксимацией точки К, а значение координаты x0 - аппроксимацией корня уравнения y = f’(x) = 0. Однако из анализа рис. 2.2. можно сделать
вывод, что точка Т с координатами (x1,0) аппроксимирует корень, лежащий в |
|
точке К лучше, чем точка А. |
|
Для точки Т можно записать следующее равенство: |
|
OT = OA - TA = x0 – TA |
(2.2) |
С другой стороны для касательной РТ к кривой f`(x) справедливо: |
|
PA = tgϕ = f ′′(x0 ) |
(2.3) |
TA |
|
Рис.2.1. Определение корня уравнения кривой y = f’(x)
8
Рис.2.2. Аппроксимация корня дифференциального уравнения
Проведя преобразования выражения (2.3) можно записать:
TA = |
|
PA |
= |
f ′(x0 ) |
(2.4) |
|
f |
′′ |
f |
′′ |
|||
|
(x0 ) |
|
(x0 ) |
|
||
В равенстве (2.2), заменив длину отрезка ОТ на координаты точки Т, получим:
x1 = x0 - TA
Подставив в (2.5) выражение (2.4), имеем:
x1 = x0 |
− |
f ′(x0 ) |
|
f |
′′ |
||
|
|
(x0 ) |
|
(2.5)
(2.6)
Как видно из выражения (2.6) можно определить координату точки Т, являющейся аппроксимацией корня К с определенной точностью.
Для повышения точности аппроксимации в точке Т восстанавливают перпендикуляр к оси абсцисс (рис.2.2), который пересекается с кривой y = f`(x) в точке P1 . В этой точке строят вторую касательную к кривой f`(x), которая пересекает ось абсцисс в точке T1. После этого вся последовательность аппроксимации повторяется:
x2 |
= x1 |
− |
f ′(x1 ) |
(2.7) |
|
f |
′′ |
||||
|
|
|
(x1 ) |
|
|
Количество аппроксимаций зависит от требуемой степени точности результата и в общем виде записывается как:
xi = xi−1 |
− |
f ′(xi−1 ) |
(2.8) |
|
f |
′′ |
|||
|
|
(xi−1 ) |
|
|
9
Точность аппроксимаций определяется требуемой точностью результата по соотношению:
e xi − xi−1
где e - требуемая точность результата.
Если начальная аппроксимация корня выбрана неудачно, расхождение результата аппроксимаций (рис. 2.3)
(2.9)
то возможно
Y |
|
y = f'(x) |
|
|
P0 |
||
|
P2 |
|
|
T1 |
T0 |
|
|
0 |
T2 |
X |
|
P1 |
|
|
|
Рис.2.3. Расходящаяся аппроксимация |
|
||
После того как было найдено решение xk уравнения f`(x) = 0 определяется знак второй производной f``(x) в этой точке:
если f``(xk) > 0, то в точке xk достигается минимум функции f(x); если f``(xk) < 0, то в точке xk достигается максимум функции f(x).
Алгоритм нахождения экстремума функции по методу Ньютона представлен на рис.2.4.
Порядок выполнения работы
1.Задание на лабораторную работу студент выбирает из табл.2.1 в соответствии со своим порядковым номером в списке группы.
2.Опираясь на теоретические сведения студент составляет программу на любом языке программирования для решения задачи поиска экстремума функции методом Ньютона. Программа и ее результаты после отладки и проверки должны быть приложены к отчету.
3.Составляется программа построения кривой функции f(x) с масштабом, достаточным для проверки результатов расчетов по п.2 (можно использовать средства построения графиков функций других приложений - Excel или
MathcadPLUS).
10