Материал: Методы и модели в расчетах на ЭВМ. методические указания к выполнению лабораторных и практических работ для студентов. Перова А.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Содержание отчета

1.Название и цель работы, краткие теоретические сведения о методе Ньютона.

2.Заданная функция, ее первая и вторая производные.

3.Блок-система алгоритма.

4."Листинг" программы и результаты ее выполнения.

5.Результат выполнения программы построения кривой заданной функции и сравнение полученных данных со значениями, полученными с помощью любого стандартного программного обеспечения.

6.Выводы по работе.

Контрольные вопросы

1.Поясните порядок поиска точки экстремума функции методом Ньютона.

2.Ни каких соображений выбирается значение начальной точки для аппроксимации корня?

3.По какому выражению ищется каждое последующее значение аппроксимируемого корня?

Таблица 2.1

Варианты задания для лабораторной работы № 1

№	Функция	№	Функция
варианта		варианта

1	x2				−Sinx	15	e−x −Cosx
	2
2	x 2			−Cosx		16	ex + Cosx
	4
3	x 2			− 4Sinx		17	e−x −Sin2x
4	3x + 4tgx					18	e−x −Sinx
5	x + Cosx					19	ex +Sinx
6	4x2 + Cosx					20	ex + 4Cos2x
7	x2				+ Sinx	21	e−x Sinx
				3
8	0,85x0,5 + 0,3tgx					22			x ex
9	x(x −1)2					23	x2 + ex Sinx
10					x	24		tgx + ex
10			x2 +1			24		tgx + ex
			x2 +1
11					x	25	tg(−x)+				1
		(x +1)2									1
											x2
											x2
12	x2 (x −1)					26			tgx
									2x2
13						27		Sin2x
					x +1			Sin2x
					x +1					x
										x
14	x					28			+ Cosx
14	x				x2 +1	28		x	+ Cosx

ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ № 2 - 3 ПОИСК ОПТИМУМА МЕТОДОМ ФИБОНАЧЧИ

И «ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ»

Цель работы: теоретическое изучение и получение практических навыков отыскания оптимума функции методом Фибоначчи.

Теоретические сведения

Часто существуют задачи, которые не дают возможности определить экстремум функции классическими методами. Это может быть пример, когда решить уравнение и найти его корни традиционным способом не удается. В этом случае с помощью численных методов экстремум функции f(x) ищется непосредственно в некотором интервале a < x0 < b, в котором как предполагается лежит экстремум.

Пусть точки а и в определяют интервал, в котором лежит истинная точка минимума и внутри этого интервала функция унимодальная, т.е. имеет только один экстремум (рис. 3.1). В интервале [а, b] известны значения функции в трех

точках x1, x2, x3, таких что a < x1 < x2 < x3 < b, f(x2) < f(x1), f(x2) < f(x3).

Тогда точка xm лежит внутри интервала (x1, x3), меньшем чем (а, b). Внутри отрезка (x1, x3) мы можем вычислить функцию в точке x4, но сде-

лать это только один раз. При этом точка x4 помещается внутри отрезка (x1, x3) симметрично точке x2, т.е. длины (x1, x2) и ( x4, x3) должны быть одинаковы. После этого следует переходить к рассмотрению отрезка (x1, x2) или (x4, х3), которые меньше начального интервала (x1, x3) а точка экстремума лежит заведомо внутри этих интервалов.

Координата точки x2 при известном начальном интервале (x1; x3) определяется по выражению:

x 2	=	Fn−1 [x3	−x1 ]+	(−1)n ε ;	(3.1)
		Fn		Fn

			Y
a	X1	X 4	Xm	X 2	X 3	b X

Рис. 3.1. Поиск экстремума функции методом Фибоначчи

где n - количество вычислений, которые необходимо выполнить;

ε - минимально возможное расстояние между двумя точками, возможно ε

= 0;

Fn-1

Fn , Fn-1 - числа Фибоначчи, которые определяются как: F0 = 1, F1 = 1, Fn =

+ Fn-2.

Последующее определение координаты точки x4 в числах Фибоначчи не

нуждается и осуществляется по выражению:

x 4

= x1

− x 2 + x3

(3.2)

Обозначим f(x2) = Y2 и f(x4) = Y4

и рассмотрим 4 возможных варианта

взаимного расположения точек x2, x4

и значений функций Y2, Y4 (рис.3.2).

а)

б)

1 X

4 X

2 X3

X1 X 2

X4 X3

в)

г)

X1 X4 X2 X3

X1 X2 X4 X3

Рис. 3.2. Возможные варианты выбора значения координат точек и значений функций

Проанализировав рис. 3.2 можно сделать вывод о том как происходит выбор интервалов для последующих итераций. Для ситуации (рис. 3.2. а) выбираем новый интервал (x1, x2), содержащий точку x4. Для (рис. 3.2 б) выбираем интервал (x2, x3), содержащий точку x4. Для рис. 3.2 в выбираем новый интервал (x4,x3), содержащий точку x2, а для рис. 3.2 г выбираем интервал (x1, x4) содержащий точку x2.

Процесс выбора оптимального, в случае поиска минимума, значения функции методом Фибоначчи может быть реализован в соответствии с алгоритмом, изображенном на рис. 3.3.

Частным случаем метода Фибоначчи является метод “золотого сечения”, особенностью которого является то, что не нужно знать количество вычислений функции “n”. При этом принимают отношения интервалов постоянным:

Lj−1	=	Lj	=	Lj+1	= ... = τ,	(3.3)
		Lj+1		Lj+2
Lj

где Lj - длина отрезка, полученного при j-ом делении;

τ - постоянная, характеризующая “золотое сечение”, τ = 1,618033989.

Рис. 3.3. Алгоритм поиска оптимума методом Фибоначчи
При таком делении исходного отрезка (x0, x3) (рис. 3.4) на три участка
две последующие точки x1 и x2 вычисляются по выражению:
x1	= x0	+ t1 (x3	− x0 ),	(3.4)
x 2	= x0	+ t 2 (x3	− x0 ),	(3.5)
где t1, t2 - коэффициенты “золотого сечения”, соответственно равные:
	t1 = 2 - τ			(3.6)
t2 = 1 - t1 = 1 - 2 + τ = -1 + τ				(3.7)

Алгоритм поиска минимума функции методом "золотого сечения" представлен на рис. 3.5.

Источник: https://studfile.net/preview/16568414/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)