Материал: Методы и модели в расчетах на ЭВМ. методические указания к выполнению лабораторных и практических работ для студентов. Перова А.В

Рис. 3.4. Варианты деления начального отрезка (x0, x3) на три части: а) при следующих вычислениях переходим к

отрезку (x1; x3);

б) при последующих вычислениях к отрезку (x0; x2).

Порядок выполнения работы

1.Заданием на работу является выражение, исследование которого студент проводил при выполнении лабораторной работы № 1. Используя точки экстремума, определенные ранее, необходимо выбрать интервал, на котором будет осуществляться поиск точки минимума функции.

2.Опираясь на теоретические сведения и алгоритм, приведенный на рис.

3.3.разрабатывается программа вычисления точки экстремума функции методом Фибоначчи. Программа после проверки ее работы прикладывается к отчету. По результатам вычислений точек минимума заполняется табл. 3.1.

Таблица 3.1

Результаты определения экстремума функции

16

3. Аналогичная работа проделывается для метода “золотого сечения”, при чем вычисления по этому методу производятся с различной точностью, а результаты расчета распечатываются и сводятся в табл. 3.1.

Содержание отчета

1.Название и цель работы, краткие теоретические сведения по методу "Фибоначчи" и "золотого сечения".

2.Заданная функция и алгоритм. Определение точки минимума методом Фибоначчи и методом “золотого сечения”.

3.Распечатку программ и результатов выполнения, а также заполненную таблицу 3.1.

4.Алгоритм поиска точки максимума функции, распечатку программы реализующую процедуру поиска, результаты и заполненную табл. 3.1.

5.Выводы по работе.

Рис. 3.5. Алгоритм решения задачи по методу «золотого сечения»

17

Контрольные вопросы

1.Для каких случаев целесообразно применение метода Фибоначчи?

2.Поясните порядок деления отрезка с использованием числа Фибоначчи.

3.Какие варианты могут возникнуть при выборе четвертой точки в отрезке?

4.Запишите выражения для определения чисел Фибоначчи и точки при поиске точки максимума функции методом Фибоначчи.

5.В чем сходство и в чем отличие поиска оптимума функции методами Фибоначчи и “золотого сечения”?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 ЭТАПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Цель работы: теоретическое изучение основных этапов моделирования, классификации моделей и получение практических навыков создания моделей различных видов.

Теоретические сведения

При исследовании любой системы посредством математического моделирования возможно наличие многих альтернативных вариантов моделей. Каждая из них в чем -то лучше остальных, а чем-то хуже. Поэтому процесс разработки наилучшего, как правило, компромиссного варианта модели, достаточно сложен. Системный подход предполагает наличие следующих этапов создания модели.

1. Синтез модели – создание возможных ее вариантов. Различают

а) структурный синтез – разработка структуры модели: ее общего вида (например, в виде многочлена, или другой функции), определение числа параметров и т. п.

б) параметрический синтез – поиск числовых значений параметров модели либо на основании справочных данных, либо исходя из условия максимального совпадения результатов, найденных по модели, с экспериментальными.

2.Анализ модели – определение качества синтезированного варианта по критериям:

а) универсальности – полноты отображаемых свойств объекта; б) точности – степени совпадения реальных данных с предсказанными

моделью; в) адекватности – способности правильно отображать свойства объекта;

г) экономичности – затрат на разработку и реализацию модели.

3.Выбор и принятие решений – общая оценка полезности вариантов и выбор лучшего.

18

В процессе перехода от словесного описания к получению результатов исследования модель объекта претерпевает следующие изменения формы своего представления.

Аналитическая модель описания – описание свойств объекта в виде совокупности математических зависимостей.

Модель решения – система математического моделирования соотношений, позволяющих найти решение поставленной задачи. Существует несколько альтернативных типов этой модели:

а) аналитическая модель решения – явное выражение, позволяющее вычислить искомую величину;

б) численная модель – запись решения в виде численных схем, позволяющих найти решение в виде набора чисел;

в) имитационная модель – переложение ан язык ЭВМ набора формальных правил функционирования объекта исследования при заданном входном воздействии.

3.Алгоритмическая модель – реализация модели решения в виде ал-

горитма.

4.Программная модель – реализация алгоритмической модели на языке программирования.

Если при разработке какой-либо из перечисленных форм возникают альтернативные варианты моделей, то появляется необходимость в реализации процедур синтеза, анализа, принятия решения.

Пример задачи моделирования

В качестве примера разберем следующую задачу. Необходимо спроектировать емкость заданного объема V0 оптимальных размеров: r – радиуса основания и h – высоты, имеющую форму прямого цилиндра с кромкой по периметру верхнего основания заданной высоты h0. В качестве критериев оптимальности можно выбрать любой из параметров (или оба одновременно):

S = Sбок + 2Sосн – площадь поверхности емкости;

L = 2Lосн + (h +h0) – длина сварного шва.

Т. к. на поверхность затрачивается листовой материал, а при сваривании расходуется электроэнергия, электроды и т. д., то в целях экономии значения обоих критериев должны быть минимальны. Кроме того, станок на котором будет реализован заказ, позволяет вырезать днище ограниченного радиуса:

R1 <r<R2.

Основные этапы решения задачи

1)Составление аналитической модели описания. Обозначим Q-

выбранный критерий оптимальности (S или L). Возможны два варианта структуры модели.

19

Необходимо учитывать условный минимум функции двух переменных. б) однопараметрическая

Проверим анализ каждого варианта. Очевидно, что вторая модель лучше с позиций критерия экономичности, если существует аналитическое решение уравнения (5.2) в виде (5.4). В этом случае выбрать надо модель описания (б), т. к. по остальным критериям обе модели эквивалентны. В противном случае надо остановиться на модели (а). В предлагаемой задаче решение (4) существует, поэтому в дальнейшем рассматривается однопараметрическая модель. Для параметрического синтеза модели описания надо в выражения (3) – (5) при конкретном критерии оптимальности подставлять указанные в вариантах задания

Возможны следующие варианты:

1)Стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2] и аналитическое решение уравнения (5.6) существует. В этом случае необходимо применять аналитическую модель решения, т. к. с точки зрения точности и экономичности она лучше.

2)Стационарная точка принадлежит интервалу [R1, R2] и аналитического решения уравнения (5.6) не существует, или не приемлемо с позиции критерия экономичности. В этом случае необходимо применять численную модель решения.

3)Стационарная точка не принадлежит интервалу [R1, R2]. Это означает, что как аналитическая, так и численная модели, основанные на уравнении (5.6), не адекватны объекту моделирования и необходима имитационная модель.

Таким образом, для выбора модели решения необходимо проверить выполнение условия (5.3). Это можно сделать с помощью леммы БольцманаКоши: если

то на отрезке (5.3) есть хотя бы одна стационарная точка. Для проверки отношения (5.7) надо найти производную ∂Q/∂R , вычислить ее значение при

20