Материал: Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки и защиты информации. Борисов В.И., Гармонов А.В
|
|
|
|
|
|
Относительная |
0 |
|
|
|
|
|
|
0,00 |
0,05 |
0,10 |
0,15 |
0,20 |
0,25 |
0,30 |
-10 |
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
-30 |
|
|
|
|
|
|
-40 |
|
|
|
|
|
|
-50 |
|
|
|
|
|
|
-60 |
|
|
|
|
|
|
-70 |
|
|
|
|
|
|
-80 |
|
|
|
|
|
|
-90 |
|
|
|
|
|
|
-100 |
|
|
|
|
|
|
Коэффицие |
Рис. 4.2 Пример оптимизации НЦФ |
|
|
|
||
нт |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
передачи, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– Начальное приближение. 2. – Ограничения на АЧХ. 3. – АЧХ НЦФ после оптимизации. |
|
||||
108
матрицы Гессе в текущей точке H(Xi) плохо обусловлена. Кроме того, поскольку аппроксимация матрицы вторых производных A(Xi) также плохо обусловлена, вектор направления поиска Pi, являющийся решением уравнения A(Xi)=VQ(Xi), не точно указывает на минимум целевой функции в следствие конечной разрядности представления чисел в ЭВМ. Эта неточность тем больше, чем овражнее функция,
подвергающаяся минимизации, т. ею чем больше число обусловленности матрицы
(прямой или обратной) ее вторых производных. Анализ целевых функций, формируемых при оптимизационном проектировании рекурсивных ЦФ, показал, что разброс чисел обусловленности достигает 104, т. е. Для минимизации этих функций требуется применение методов, специально ориентированных на минимизацию овражных целевых функций.
Одним из таких методов является метод сопряженных градиентов с улучшением обусловленности [2]. Структурная схема алгоритма, реализующего данный метод,
показана на рисунке 4.3. Исходными данными являются следующие параметры: АЧХ в линейном или логарифмическом масштабе; частота дискретизации; порядок проектируемого фильтра; начальные значения коэффициентов; точность поиска минимума целевой функции, точность одномерного поиска, максимальное число итераций.
Целевая функция, как и в работах [3,4], вычисляется согласно выражению (4.14).
Однако, поскольку коэффициенты звена 2–го порядка передаточной функции фазоминимального ЦФ не превышают по модулю значения, равного двум, дополнительно
|
L |
4 (L – число коэффициентов, которое по модулю |
|
вводится штраф |
1016 |
xi xmax |
|
|
i 1 |
|
|
больше 2) при превышении i – значением вектора коэффициентов величины X max 2 .
Это уменьшает область поиска минимума целевой функции.
Градиент целевой функции вычисляется в соответствии с выражением
109
Начало
Ввод исходных
данных
Вычисление
градиента Q(X,K*)
Определение
направления поиска
Одномерный поиск
Вычисление
градиента Q(X,K*)
Вычисление H-1
Инверсия нулей и полюсов, расположенных вне единичного круга
Определение
направления поиска
Одномерный поиск
Сходимос
ть
Нули и полюса
внутри еди
Конец
Рис. 4.3 Структурная схема алгоритма сопряженных градиентов
110
|
|
|
Q X , K |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
H X , |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2K * |
|
|
H X , n |
K * |
A n W |
|
|
n |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
xi |
|
где |
|
|
4 1016 |
|
xi xmax |
|
- производная |
штрафа по |
соответствующей |
координате |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вектора коэффициентов ЦФ.
Одномерный поиск осуществляется с помощью алгоритма полиномиальной интерполяции с использованием квадратичной аппроксимации целевой функции в окрестности минимума. Он имеет более сильную сходимость по сравнению с методом
«золотого сечения» и аналогичные вычислительные затраты [2].
Направление одномерного поиска при градиентном шаге определяется одновременно с вычислением градиента p(xk)=-VQ(xk), а при поиске по методу сопряженных градиентов с улучшением обусловленности – по следующим формулам [2]:
|
pk=zk+ k-1pk-1; |
|
ykT 1zk |
, |
|
|
k 1 |
|
|||
|
|
ykT |
1 pk 1 |
||
|
|
|
|||
где yk-1= Q(xk-1) – градиент целевой функции в k–й точке; |
|||||
zk 1 |
Hk 1 Q(xk ) ; |
|
|
|
|
Q(xk ) |
- аппроксимация обратной |
матрицы |
Гессе, для вычисления которой |
||
используется формула ДФП.
Если какие–либо корни числителя или знаменателя передаточной функции спроектированного ЦФ расположены вне единичного круга, они заменяются на обратные с соответствующей корректировкой K*, после чего процедура оптимизации повторяется.
Если полученный ЦФ вновь окажется неустойчивым, снова осуществляется инверсия нулей и полюсов, расположенных вне круга, корректировка K* и вывод результатов.
В качестве примера был спроектирован широкополосный дифференциатор [6]
H (e j T ) |
f , 0 f 0.5 (с шагом 0.025). |
2f
Вработе [6] с помощью программы, реализующей метод ДФП и приведенной в работах [3, 4] после 96 итераций были получены значение целевой функции Q=2.780*10-4
иЦФ со следующими параметрами: К*=0,36637364; нули: 1; -0,67082621; полюса: - 0,1424030; -0,71698670.
Предлагаемая программа после 19 итераций достигла Q=2.7512*10-4. Полученный дифференциатор имеет следующие параметры:
|
|
111 |
|
|
|
|
1 |
0.32911908z 1 |
0.67044465z |
2 |
|
|
|
H (z) 0.36641339 |
|
|
|
|
; |
(4.15) |
1 |
0.85919704z 1 |
0.10207224z |
2 |
|||
Нули: 0.99973886; -0,67061978; полюса: -0,14240059; -0,71679645.
АЧХ дифференциатора из работ [3, 4] и полученного приведены на рисунке 4.4.
4.3 Оптимизация частотных характеристик гребенок фильтров
Появление гребенок цифровых фильтров с линейной ФЧХ [ ] создало условия для разработки программно – управляемых устройств с изменяемой АЧХ, находящих применение при построении адаптивных приемников широкополосного сигнала, когда необходимо, в зависимости от конкретного распределения сигналов и помех на частотно – временной плоскости, изменять АЧХ приемника.
Структурная схема описываемого режекторного фильтра (РФ) выбиралась с учетом обеспечения максимального динамического диапазона входных сигналов,
технологичности и высокой повторяемости параметров.