Материал: Методы проверки надежности протоколов судовой СЭУ

Параметризованная S-изогнутая модель

Данная модель позволяет избавиться от ограничения на зависимость ошибок друг от друга.

Формула:

где параметр r есть отношение количества ошибок, которые можно обнаружить в текущий момент (то есть не зависящих от еще не найденных), к общему количеству ошибок. При r=1 получаем стандартную экспоненциальную модель.

Модель Парето:

В этой модели считается, что ошибки неравноценны, и наиболее серьезные исправляются первыми. Параметр a, как и раньше, показывает общее количество ошибок, два других параметра задают форму кривой.

Модель с двумя типами ошибок (гиперэкспоненциальная):

Если ошибки неравноценны, то можно разделить их условно на две группы-легкие и трудные для обнаружения, и оценивать отдельно. Для конкретного проекта «легкие» и «трудные» в таком случае необходимо определять отдельно. Уравнение выглядит следующим образом:

Здесь p1, p2 - «веса» групп ошибок. Эту модель можно обобщить, чтобы использовать не только для двух типов ошибок, но и для большего количества.

Логарифмическая пуассоновская модель:

Параметры находятся из следующей системы:

Функция количества не ограничена на бесконечности. Данная модель не позволяет получить оценку для общего количества ошибок. На практике, если это необходимо, можно произвести расчет по другой модели (например, экспоненциальной) и найти, сколько ошибок будет обнаружено по логарифмической модели к моменту, когда по экспоненциальной модели будет найден определенный процент ошибок, либо искать значение функции количества в момент времени, когда интенсивность становится меньше некоторого достаточно малого значения.

В заключение отметим некоторые достоинства и недостатки пуассоновских моделей.

(+) По пуассоновским моделям много работ, их применяли в разных проектах множество раз, и получали адекватные результаты.

(+) Возможность исследовать несколько параллельных независимых источников ошибок (например, ошибки программы и оборудования) в силу простоты сложения двух пуассоновских случайных величин.

(-) Изначально, пуассоновские процессы использовались для моделирования отказов оборудования. При тестировании программ время, будь то астрономическое время запуска тестов или процессорное время, дискретно, и в этом отношении пуассоновские модели применяются с ограничениями. В частности, может получиться так, что оценка для Mean time to failure не несет содержательного смысла из-за того, что процесс тестирования не является непрерывным.

Марковские модели:

Случайный процесс называется цепью Маркова, если его состояние в будущем зависит только от настоящего, и не зависит от предыдущих состояний.

Рисунок 3: Зависимость интенсивности от времени в модели

Модель Jelinski-Moranda рассматривает процесс тестирования как марковскую цепь, с неизвестным начальным состоянием. Полагая, что надежность линейно зависит от количества ошибок, можно рассматривать время между обнаружением двух ошибок случайной величиной с экспоненциальным распределением.

В этом отношении данная модель похожа на пуассоновскую (в обеих присутствует поток редких событий), однако, используя JM-модель, мы смотрим на происходящее с другой стороны: если в пуассоновских моделях рассматривались вероятности появления того или иного количества ошибок к заданному моменту времени, то в марковских моделях ищутся вероятности появления очередной ошибки за некоторый момент времени, то есть, если в пуассоновской модели функция, описывающая «надежность» была непрерывна, а сама модель описывала дискретные вероятности, то в марковских «надежность» дискретна, но оценивается время, являющееся непрерывным.

Пусть в программе a ошибок, в начальный момент интенсивность равна a∗b, где b - положительный параметр. T i - время между появлением i-й и i-1 ошибок имеет показательное распределение с параметром интенсивности (a-i+1) b. Параметры a и b можно оценить методом максимального правдоподобия:

JM-модель имеет много ограничений, в частности предполагается, что ошибки исправляются моментально и не зависят друг от друга. Наиболее серьезным ограничением является предположение о линейной зависимости надежности и числа обнаруженных ошибок, или, что то же самое, предположение об одинаковом «весе» всех ошибок. Чтобы избавиться от этого ограничения, вводится функция λ(i), описывающая частоту нахождения ошибок. λ(i) является монотонно убывающей функцией: т.к. математическое ожидание экспоненциально распределенной случайной величины равно 1/λ, то получается, что со временем отказы происходят реже.

Одно из возможных решений - взять в качестве λ(i) степенную функцию.

так как λ в начале должна резко убывать, k>1. Более сложный вариант - экспоненциальный рост λ:

Другой подход предложен - можно ввести функцию φ(t), описывающую изменения в характере тестирования на протяжении некоторого времени. Тогда

Если φ(t) - константа, получаем обычную JM-модель.

В заключение - о преимуществах и недостатках марковских моделей.

(+) Так как вид кривой в марковских моделях достаточно простой (кусочно-постоянная функция), то основным преимуществом марковских моделей является простота расчета.

(-) Наличие априорных предположений о «весе» дефектов.

(-) Низкая точность аппроксимации при небольшом количестве тестовых данных (по сравнению, например, с пуассоновскими моделями).

По этим причинам часто марковские модели используют не в чистом виде, а с байесовскими модификациями.

Байесовские модели:

В теории вероятности доказывается формула Байеса:

позволяющая вычислить вероятности гипотез, основываясь на результатах наблюдений.

Вообще, байесовскими называют различные модели, учитывающие новые данные для корректировки существующих гипотез. Если в описанных выше моделях используются некоторые предположения о характере распределения априорно, то при использовании байесовских методов эти параметры меняются в зависимости от новых измерений. К примеру, если с какого-то момента ошибки резко участятся, то и распределения, описывающие предположения о надежности программы, изменятся таким образом, что вероятность новых ошибок повысится.

Формализуем этот подход. Пусть в выбранной модели есть несколько параметров, которые необходимо оценить, и они задаются в виде вектора X из некоторого линейного пространства. Если согласно предыдущим измерениям вектор X имеет плотность распределения g(X), то байесовская оценка будет иметь следующий вид:

Здесь t - некоторый вектор, содержащий новые данные, f (t|X) - функция правдоподобия, h (X|t) - апостериорная оценка плотности распределения вектора X.

В общем случае получить аналитически формулу для апостериорного распределения невозможно, вместо этого применяются численные алгоритмы расчета кратных интегралов. Однако для некоторых распределений, обладающих некоторыми удобными свойствами, это возможно, и именно они используются в простых моделях. Таковы, в частности, Гамма и Бета распределения.

Свойства байесовских моделей:

(+) Любую модель теоретически можно модифицировать и сделать байесовской, достаточно для каждого параметра ввести функцию априорного распределения. Для соблюдения логичности и корректности модели, тем не менее, необходимо осознавать содержательный смысл выбираемого распределения.

(-) Введение байесовских оценок усложняет процесс расчета параметров.

(-) Трудности с применением на больших объемах данных.

Рассмотрим отдельно наиболее популярную байесовскую модель.

Модель LV (Littlewood - Verrall):

Модель LV является одной из самых распространенных байесовской моделью. Изначально предполагаем, что время между ошибками имеет экспоненциальное распределение:

Однако теперь функция ошибок является случайной величиной, имеющей Гамма-распределение:

Рисунок 4: Интенсивность в LV-модели в зависимости от времени

Параметр α характеризует форму кривой, а ψ(i) - параметр масштаба, он зависит от количества найденных ошибок. Чаще всего считают, что ψ описывает качество тестирования, и, соответственно, монотонно возрастает. Из этого следует, что λ(i) убывает стохастически, то есть

В частности, можно взять в качестве ψ(i) линейную функцию, тогда коэффициенты прямой - два параметра для оценки.

Интенсивность в LV модели равна:

5. Пути возможного повышения надёжности системы

Кроме расчёта надёжности также будет приведены несколько методов повышения надёжности системы и её элементов в целом.

К ним относятся:

·        Резервирование элементов системы;

·        Дублирование элементов системы или всего контура системы;

·        Самовосстановление элементов (только программные сбои).

Далее подробнее опишем один из них.

Резервирование замещением как метод повышения надёжности

Резервирование - это введение в структуру устройства дополнительного числа элементов, цепей и (или) функциональных связей по сравнению с минимально необходимыми для функци-онирования устройства. Цель резервирования - повысить надёжность устройства.

В зависимости от того, как подключаются резервные элементы в случае отказа основных, различают следующие виды резервирования:

.        постоянное;

.        замещением;

.        скользящее (может рассматриваться как частный случай резервирования замещением).

При постоянном резервировании резервные элементы постоянно подключены к основным и находятся в одинаковом с ними электрическом режиме. Деление элементов на основные и резервные носит здесь условный характер.

При резервировании замещением основной элемент в случае его отказа отключается от электрической цепи, обычно как по выходу, так и по входу, и вместо него подключается один из резервных элементов.

Переключение может выполняться либо автоматически с помощью переключающих устройств, либо вручную. Условно резервирование замещением изображается одним из способов, указанных на рисунке 1.1.1

Рисунок 6 - схематическое изображение резервирования замещением: (m-1) - количество резервных элементов

Скользящее резервирование - это резервирование замещением, при котором любой резервный элемент может замещать любой основной элемент. Это возможно лишь при их однотипности.

При рассмотрении резервирования под словом «элемент» следует понимать как комплектующий элемент, так и каскад, функциональный узел, блок и так далее, имея в виду, что резервирование может выполняться на уровне различных частей СЭУ.

Характеристика резервирования замещением.

При резервировании замещением основной элемент в случае его отказа отключается от электрической схемы, и вместо него подключается один из резервных элементов.

Основной характеристикой резервирования замещением является кратность резерва, выражаемая несокращаемой дробью и определяемая отношением

где r - количество резервных элементов, способных замещать основные элементы данного типа; r=m-n;- количество основных элементов, резервируемых резервными элементами.

Примеры оценки кратности резерва понятны из рисунка 7.

Рисунок 7 - примеры оценки кратности резерва

При резервировании замещением резервные элементы до вступления их в работу могут находиться в одном из трёх режимов нагрузки:

а) в нагруженном режиме. В этом случае говорят о нагруженном резерве или «горячем» резервировании. Здесь резерв находиться в таком же электрическом режиме, как и основной элемент, и его ресурс вырабатывается одновременно с ресурсом основного элемента, точно так же, как и при постоянном резервировании;