Материал: Михайленко Е.В. Математика. Ч. 1. Элементы общей алгебры

множества комплексных чисел (C ), т.е. N Z Q R C .

Комплексное

число вида

(0;1) называется мнимой единицей

и

обозначается буквой i .

Если

y 0,

то комплексные числа

вида

(x; 0)

отождествляются

с

действительными числами, т.е. (x; 0) x .

Если

x 0,

то комплексные числа

вида

(0; x)

отождествляются

с

действительными числами, т.е. (0;

y) iy .

Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число

z x iy

можно

изобразить точкой M x;y

ординат – мнимой.

Комплексное число z x iy можно задавать

y

y

M(x;y)

с помощью радиус-вектора r OM x;y . Длина

r

вектора r , изображающего комплексное число

z ,

φ

называется модулем этого числа и обозначается

z

.

O

x

x

комплексные числа z1 1,

z2 2i ,

z3 3 2i , z4

2 i .

Решение. Изобразим комплексные числа на комплексной плоскости Oxy .

y

z4

2i

z3

i

z1

0

x

-2

-1

3

-2i

z2

Действия над комплексными числами

Пусть z1 x1;y1 и z2

x2;y2 – два комплексных числа.

1. Суммой комплексных чисел z1 и z2

называется число

x x

y y

2

x y

x y

z

1 2

1

;

2 1

1 1

.

x2

y2

x2

y2

2

2

2

2

Пример 1.17. Доказать, что любое комплексное число z x;y

можно

представить в виде z x iy .

Доказательство. z x;y x;0 0;y x;0 y;0 0;1 x iy .

Пример

1.18.

Для чисел

z1 7,

z2 6i ,

z3 8 3i ,

z4 17 i

определить действительную и мнимую части.

Решение. Для комплексного числа

z x iy

действительная

часть

Rez x , мнимая часть Imz y . Следовательно,

для числа z1 7

имеем Re(z1) 7,

Im(z1) 0;

для числа z2 6i

имеем Re(z2) 0, Im(z2) 6;

для числа z3 8 3i

имеем Re(z3) 8 , Im(z3) 3;

для числа z4 17 i имеем Re(z4) 17, Im(z4) 1.

Два комплексных числа

z x iy

и

z x iy , отличающихся

только

знаком перед мнимой частью, называются сопряженными.

Пример 1.19. Для чисел z1 10, z2 14i , z3 13 16i , z4 1 i найти

комплексно сопряженные числа.

Решение. Для числа z1 10 10 0 i

комплексно сопряженное число

имеет вид

10 0 i 10.

z1

Для числа

z2 0 14i

комплексно

сопряженное число

имеет вид

Для

числа

z3 13 16i

комплексно

сопряженное

число

имеет

вид

3 13 16i .

z

Для

числа

z4 1 i

комплексно

сопряженное

число

имеет

вид

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2

x2 iy2 называются равными

тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е.

x

x

,

z1 z2 1

2

y1

y2.

2. Разностью комплексных чисел z1 x1 iy1 и

z2 x2 iy2 называется

число, определяемое равенством z x1 x2 i y1 y2 .

Пример 1.22. Найти произведение чисел z1 1 6i

и z2 3 7i .

19

z z

2

(1 6i ) ( 3 7i ) 1 ( 3) 6i ( 3) 1 (7i ) 6i 7i 42i 2 11i 3

1

42 ( 1) 11i 3 45 11i .

Пример 1.23. Вычислить (3 i)3.

Решение.

(3 i)3 (3 i) (3 i) (3 i) (3 i) (9 3i 3i i2) (3 i) (8 6i)

3 8 3 6i 8 i i 6i 24 18i 8i 6i2 18 26i .

4. Частным

z1

комплексных чисел z

x iy

и

z

2

x

iy

2

(z

2

0)

z2

1

1

1

2

называется число, определяемое равенством z

x1x2

y1y2

i

x2y1 x1y1

.

x2

y2

x2 y2

2

2

2

2

Действительно,

z

z

z z

2

x

iy

x

2

iy

2

x x

2

ix y

2

ix

y

i2y y

2

1

1

1

1

1

1

2 1

1

z2

z2z2

x2 iy2 x2 iy2

x22 i2 y22

x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2

x1x2 y1y2

i

x2y1 x1y2

.

x2

y2

x2

y2

x2

y2

2

2

2

2

2

2

z1

14 27i

( 14 27i)(4 3i)

( 14) 4 27i 4 3i 14 3i 27i

z2

4 3i

(4 3i)(4 3i)

16 9i2

56 150i 81i2

56 150i 81 ( 1)

25

150i

25

150i

1

6i .

16 9

( 1)

16 9

25

25

25