Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

A =	2	;	B =	1	;	y(x)=	2	e−x +	1	e2 x .
	3			3			3		3

Пример 16.7 ([4], № 115 (7)). Решить интегро-дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y ''+ ∫x sin(x −t) [ y''

(t ) + y(t )]dt = 2cos x; y (0) = y′(0) = 0.

2 p

Решение. p

Y ( p)

Y ( p) +Y ( p) =

;

Y ( p)

2 p

= −(

)' y(x) = xsin x.

( p2 +1)2

p2 +1

Пример 16.8 ([4], № 115 (9)). Решить интегро-дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y '' − y −4∫x (x −t)cos( x −t) y(t)dt = 0;

y (0) = 4; y '(0) = 0.

Решение. Переходим к операторному уравнению:

p2{Y ( p) −

} −Y

( p) +4

1− p2

Y ( p) = 0;

(1+ p2 )2

Y ( p) =

4 p( p2 +1)2

( p2 −1)2 ( p2 +3)

Ep + F ;

( p −1)2

p −1

( p +1)2

p +1

p2 +3

4 p( p2 +1)2 = A( p +1)2 ( p2 +3) + B( p −1) ( p +1)2 ( p2 +3) +

+C( p −1)2 ( p2 +3) + D( p +1) ( p −1)2 ( p2 +3) +

+(Ep + F) ( p2 −1)2 ;

Положим в этом тождестве слева и справа р = 1. Получим

=16А А=1.

Положим р = –1. Получим

−16 =16С С = −1 .

Поскольку у многочлена, стоящего в знаменателе выражения Y( p) , больше действительных корней нет, прибегнем к другому

241

методу для нахождения оставшихся коэффициентов. Приравняем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях р:

при	р5 :	4	= B + D + E;
при	р4 :	0	= A − B +2B +C + D −2D + F;
при	р1 :	4	= 6A −6B +3B −6C −6D +3D −2F + E;
при	p0 :	0	= 3A −3B +3C +3D + F.
Получим систему
	B + D + E = 4,
			+ F = 0,			3
	B − D		+ F = 0,		F = 0; B = D =	3	; E =1.
					F = 0; B = D =		; E =1.
	3B +3D +2F − E =			8,		2

	3B −3D + F = 0

Разложение функции Y( p) на элементарные дроби приобрело вид

Y ( p)= ( p −11)2 + 32 p1−1 − ( p +11)2 + 32 p1+1 + p2p+3.

Искомая функция:

y(x) = 2shx +3chx +cos 3x .

Пример 16.9 ([4], № 118 (4)). Решить систему уравнений:

						x
y'' − z + ∫(x −t)·ex−t·z (t )dt = ex , y(0)= 2; y' (0)= 0;
						0
		− y		− z		x	(0)= −1;
z	''	− y	'	− z	'	+ ∫cos(x −t)·y (t)dt =1 , z (0)=1; z	(0)= −1;
	''		'		'	'
						0

Решение. Перейдем к операторным уравнениям:

p2 Y

(p)−

−Z (p)+

Z (p)=

(p −1)

p −1

p Z (p)−

− p Y

(p)−

− p Z

(p)−

Y (p)=

p p

или

242

p2Y ( p) + 2 p − p2 Z ( p) = 2 p

−2 p +1

( p −1)

p −1

p2 −4 p +

Y ( p) +( p

− p)Z ( p) =

−

Решив эту систему, получим


Y ( p) =	2	+	2		,
Y ( p) =		+			,			2
	p p			3		y ( x) = x		2	+ 2,
	p p					y ( x) = x			+ 2,
Z ( p) = p2
		p −1					z ( x) =1		− x.
		p −1					z ( x) =1		− x.

243

Список рекомендуемой литературы

1.Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 2001, 2004.

2.Михайлов В.Д. Теория функций комплексного переменного. М.:

МИФИ, 2002.

3.Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Физматлит, 2002.

4.Шелковников Ф.А., Такайшвили К.Г. Сборник упражнений по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1976.

5.Михайлов В.Д. Сборник заданий для самостоятельной работы по курсу «Теория функций комплексной переменной». М.: НИЯУ МИФИ, 2011.

6.Михайлов В.Д. Теория функций комплексной переменной: Сборник заданий для самостоятельной работы. М.: НИЯУ МИФИ, 2013.

7.Забоев А.И., Михайлов В.Д., Шолохов Н.В. Вычеты и их примене-

ние. М.: МИФИ, 1994.

244

Источник: https://studfile.net/preview/16708793/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27