Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

специальное обозначение (0,1) = i, что позволило записывать всякое комплексное число в удобной так называемой алгебраической форме: z = x +iy , так как

z = (x, y) = (x,0) +(0, y) = ( x,0) + y (0,1) = x +iy .

Такая запись комплексного числа в виде алгебраического двучлена позволяет производить действия над комплексными числами,

как над алгебраическими двучленами, с учетом того, что

i2 = (0,1)(0,1) = (0 0 −11, 0 1+1 0) = (−1, 0) = −1 .

Например:

z1 z2 = (x1, y1 )(x2, y2 ) = ( x1 +iy1 )(x2 +iy2 ) =

= x1x2 +ix1 y2 +iy1x2 +i2 y1 y2 = x1x2 − y1 y2 +i (x1 y2 + x2 y1 ) .

Алгебраическая форма комплексного числа позволяет производить деление домножением числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное знаменателю, т.е.:

На плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точки (х, у) можно рассматривать точки плоскости, как геометрические изображения комплексных чисел. В этом случае плоскость называют комплексной плоскостью, ось 0х – действительной ее осью, ось 0у – мнимой осью. Из определения сложения и равенства комплексных чисел следует, что и радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку плоскости, изображающую комплексное число, также можно рассматривать как геометрический образ комплексного числа. Поэтому сложить (или вычесть) комплексное число можно сложив (или вычтя) соответствующие векторы по правилам сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, известные из геометрии). В таком случае модуль

6

полярные координаты ρ = ( x2 + y2 ) , φ – угол вектора с осью 0х,

x = ρcos φ,

т.е. получим тригонометрическую форму записи ком-y = ρsin φ,

плексного числа z = x + iy = ρcos φ + iρsin φ = ρ(cos φ+ i sin φ). Положительные значения φ отсчитываются против часовой

стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. Угол φ, называемый

аргументом комплексного числа, определен с точность до 2πk . Для однозначности этого понятия бывает удобно выделить так называемое главное значение аргумента, заключенное в любом промежутке углов вида φ0 ≤ φ< φ0 +2π . Чаще всего в качестве ϕ0

принимается 0 или −π .

В дальнейшем мы будем брать в качестве главного такое значение аргумента φ (пишется: φ = arg z ), которое удовлетворяет нера-

венствам −π < arg z ≤ π. Следовательно, в качестве аргумента комплексного числа (пишется: Arg z ) можно брать любое значение, связанное с главным соотношением Arg z = arg z + 2πk (k = 0, ±1,

±2, ...). Отметим, что для числа z = 0 значение аргумента не определено. Так как

z1 z2 = ρ1(cosφ1 +i sin φ1 )ρ2 (cos φ2 +i sin φ2 ) =

=ρ1ρ2 (cos(φ1 +φ2 ) +i sin(φ1 +φ2 ))

(т.е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются) и, следовательно,

z1 = ρ1 (cos(φ1 −φ2 ) +i sin(φ1 −φ2 )) ,

z2 ρ2

a также zn = ρn (cos nφ+i sin nφ) (формула Муавра).

Введем обозначение cosφ+isin φ = eiφ . Оно позволяет использо-

вать величину eiϕ как алгебраическую экспоненту, что приводит к еще одной форме записи комплексного числа – показательной:

7

z= ρ(cos φ+i sin φ) = ρeiφ .

Вэтом виде перемножение комплексных чисел записывается так:

z1z2 = ρ1eiφ1 ρ2eiφ2 = ρρ1 2ei(φ1 +φ2 ) .

Определим действие извлечения корня п-й степени (n – натуральное число, п > 1) из комплексного числа точно так же, как это делается в алгебре действительных чисел, т.е. комплексное число w = n z , если wn = z .

Пусть w = r (cos ψ+ isin ψ) . По формуле Муавра:

rn (cos nψ+i sin nψ) = ρ(cos(φ+ 2πk) +i sin(φ+ 2πk)) ,

Имея один и тот же модуль, они располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного n-угольника, вписанного в ок-

ружность радиуса n ρ .

Пример 1.1. Доказать, пользуясь определением комплексного числа, что 1i = −i . Произвести также это деление, пользуясь поня-

тием комплексно сопряженного числа.

или

1i = 1i ((−−ii)) = −1i = −i.

8

Ответ. 1+i .

Пр имер 1.4. Для данных комплексных чисел z указать Rez, Imz, z , arg z и записать число в тригонометрической и показательной формах, а также изобразить это число на комплексной плоскости:

z =3; arg z = 0;

z = 3(cos0 +i sin 0)= 3ei0

(рис. 1.1).

Рис. 1. 1

9

10