Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Пользуясь формулой для производной изображения

из таблицы свойств изображений			[F '( p) −x· f (x)] ,					а также изо-
бражением производных:
y′(x) p [Y ( p) −		C2 ], y′′(x)			p2 [Y ( p) − C2			−	C1	],
y′(x) p [Y ( p) −		C2 ], y′′(x)			p2 [Y ( p) − C2			−		],
		p				p			p2
получим
− [ p2·Y ( p) −C	·p −C ]'− p·Y ( p) +C			2	+[ p·Y ( p) −C	2	]'+Y ( p)=0;
2	1			2		2

−2 p·Y (p)− p2·Y '(p)+ C2 − p·Y (p )+ C2 +Y (p )+ p·Y '(p )+Y (p)=0 ;

Y '(p)·(−p2 + p)+Y (p)(· −3 p +2)+2C2 = 0;

Y′( p) + 3pp2 −−2p Y ( p) = p22 C−2 p .

Это – линейное уравнение первого порядка. Решаем его обычными методами.

2 −3 p

Y ( p);

2 −3 p

dp;

−

dp;

− p

p −1

lnY = ln

−ln( p −1) +ln C;

Y ( p) =

;

p2 ( p −

однор

( p) =

C( p)

;

C' ( p)

; C '( p) = 2C

·p;

p2 ( p −

p2 ( p −1)

p2 − p

част

C( p) = C

·p2

; Y

( p) =

; Y ( p) =

;

p −

p2 ( p −1)

p −1

част

y(x) = C∫xtex−t dt +C2ex = Cex[−te−t −e−t ]

+C2ex =

= Cex [−xe−x −e−x +1] +C2ex = −C(x +1) + ex (C +C2 )

или, переобозначив постоянные:

y = C1 (x +1) +C2 ex .

236

Рекомендуемый перечень задач для решения в аудитории:

15.1([4], № 49(3)); 15.2 ([4], № 50 (1)); 15.3 ([4], № 49 (8));

15.4([4], № 50 (7)); 15.7 ([4], № 52 (2)); 15.8 ([4], № 53 (2));

15.9([4], № 54 (2)).

Резерв:

15.5([4], № 50 (9)); 15.6 ([4], № 51 (2)).

Для самостоятельной работы дома:

15.1 ([4], № 49 (4)); [4], № 50 (2), 52 (3), 53 (3), 54 (3).

237

16. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПАРАМЕТРОМ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ1

Исходя из предположения, что все фигурирующие в задачах этого раздела функции могут служить оригиналами в применяемых преобразованиях Лапласа, решим интегральные уравнения первого и второго рода типа Вольтерра.

Пример 16.1 ([4], № 108 (2)).

sin2 x = ∫x sin ( x −t )u (t )dt.

Решение. Совершим интегральное преобразование Лапласа обеих частей этого уравнения по переменной х, используя при этом теорему об изображении свертки:

∫τ

f1 (τ) f2 (x − τ)dτ

F1 ( p) F2 ( p) ;

sin2 x =

1 −cos 2x

;

−

U ( p),

+ 4

p2 +1

2 p

где U(p) – изображение искомой функции u(x),

U ( p) =

2( p2

+1)

Bp +C

;

p( p2

+4)

p2 +

откуда А =

1 ;

В = 3

;

С = 0

3 cos 2x.

( p) =

;

u(x) =

p2 + 4

2 p

Пример 16.2 ([4], № 108 (5)).

x4 = ∫x (x2 +6xt −7t2 )u(t )dt.

1 При недостатке часов это занятие можно рассматривать как факультативное.

238

U ( p)

U ′( p) U ( p)

Решение.

−

;

p −

u(x) =43 x + C5 . x4

Пример 16.3 ([4], № 109 (2)).

u( x)	=sin 2x −	8 xsh3( x −t)u(t) dt.
		3 ∫0

Решение. Переходим к операторному уравнению:

U ( p)

( p)

−

p2 +2

p2 −9

2( p

−9)

U ( p) =

( p2 +4)( p2 −1)

p2 +4

p2 −1

A =

;

B = −16 ;

u ( x) = 13 sin 2x −

16 sh x .

Пример 16.4

5 (1)).

([4],

110

Решить

систему уравнений

u ( x) = f ( x) + ∫ sin ( x −t )υ(t ) dt,

относительно неизвестных функ-

υ( x) = g ( x) −∫ sh ( x −t ) u (t ) dt.

ций и(х) и υ(x) ;

g(x) и f(х) – данные функции.

( p) = F

( p) +

·V ( p),

Решение.

( p) =G

( p) −

·U ( p)

−1

U ( p) +

U ( p)

= F ( p) +

·G( p);

(

)

)(

p +1

−1

U ( p) =

p4 −1

[ F ( p) +

·G( p)]

p2 +

239

u (x)	= f ( x)	−	1	∫x ( x −t)3 f (t)dt + ∫x ( x −t) g (t)dt −
			3!
				0	0

− 1 ∫x (x −t)3 g (t)dt. 3! 0

Пример 16.5 ([4], № 100 (2)). Вычислить интеграл, найдя предварительно его изображение с помощью интеграла Лапласа:

∞ t sin xt

∫0 a2 +t2 dt ≡ J (x) .

Решение. Обозначим изображение функции J ( x) через I( p) :

∞

I ( p ) = ∫

∞

= ∫

−

dt =

( p

−a

)(a

)

( p

−a

)( p

)

−a

·arctg

∞ +

·arctg

∞ =

p2 −a2

−a2

−

;

p2 −a2

p +a

p2 −a2

J (x) = π2 e−ax .

Пример 16.6 ([4], № 115 (2)). Решить интегро-дифференциальное уравнение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

y ' −2∫xex−t y(t)dt = 0, y(0) = 1.

Решение. Переходим к изображениям по Лапласу:

p Y ( p) −

−2

Y ( p) =0 ;

p −

Y ( p) =

p −1

;

( p +1)( p −2)

p +1

p −

240

Источник: https://studfile.net/preview/16708793/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27