Материал: Михайлов ТФКП Практикум 2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
В. Д. Михайлов
ТФКП
Практикум
Рекомендовано к изданию УМО «Ядерные физика и технологии»
Москва 2013
УДК 517.5 ББК 22.16 М69
Михайлов В.Д. ТФКП. Практикум. М.: НИЯУ МИФИ, 2013. – 244 с.
Данное учебное пособие предназначено для практических занятий и содержит решения большого количества задач по стандартному семестровому курсу «Теория функций комплексной переменной». Этим решениям предпосылаются основные положения теории и необходимые пояснения. Состоит из 16-ти тем-занятий, охватывающих данный курс в соответствии с учебным планом и программой.
Пособие предназначено для студентов, изучающих курс «Теория функций комплексной переменной».
Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук Р.Р. Акопян, канд. физ.-мат. наук И.В. Попов
ISBN 978-5-7262-1850-2 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2013
Редактор Е.Н. Кочубей
Подписано в печать 15.11.2013. Формат 60х84 1/16.
Уч.-изд. л. 15,25. Печ. л. 15,25. Тираж 100 экз.
Изд. № 1/14. Заказ № 29
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31.
ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская обл., г. Электросталь, ул. Красная, д.42
|
Содержание |
|
Предисловие ............................................................................................... |
4 |
|
1. |
Комплексные числа ............................................................................. |
5 |
2. |
Функции комплексной переменной.................................................. |
17 |
3. |
Аналитические функции. Условия Коши–Римана........................... |
29 |
4.Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Простейшие конформные
|
отображения........................................................................................ |
43 |
5. |
Конформные отображения................................................................. |
53 |
6. |
Интеграл по комплексной переменной. Интегральная |
|
|
формула Коши..................................................................................... |
69 |
7. |
Числовые и функциональные ряды. Степенные ряды. |
|
|
Ряд Тейлора ........................................................................................ |
90 |
8. |
Ряд Лорана ........................................................................................ |
103 |
9. |
Изолированные особые точки однозначных аналитических |
|
|
функций ............................................................................................. |
125 |
10. |
Вычеты............................................................................................... |
141 |
11. |
Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов. |
|
|
Вычисление интегралов от некоторых функций действительной |
|
|
переменной ....................................................................................... |
157 |
12. |
Вычисление несобственных интегралов......................................... |
171 |
13. |
Интегрирование многозначных функций....................................... |
181 |
14. |
Операционное исчисление. Основные свойства............................ |
214 |
15. |
Применение операционного исчисления к решению |
|
|
обыкновенных дифференциальных уравнений ............................. |
229 |
16.Операционное исчисление. Решение интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, вычисление
несобственных интегралов с параметром операционным |
|
методом.............................................................................................. |
238 |
Список рекомендуемой литературы ..................................................... |
244 |
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие предназначено главным образом для студентов, изучающих в техническом вузе математический курс «Теория функций комплексной переменной» (ТФКП), как правило, в течение семестра, а также для преподавателей, ведущих практические занятия по этому курсу. Оно может быть использовано также изучающими курс самостоятельно.
Пособие состоит из шестнадцати глав, охватывающих весь изучаемый курс в соответствии с действующими учебным планом и учебной программой по ТФКП, утверждёнными в НИЯУ МИФИ.
Представлены разделы: комплексные числа и действия над ними; функции комплексной переменной; определение и свойства аналитических функций; конформные отображения, осуществляемые аналитическими функциями; интегралы по комплексной переменной; теория вычетов; ряды Лорана и различные приложения теории, в частности, к вычислению несобственных интегралов и другие вопросы.
Значительное место отведено операционному исчислению и его применениям, в том числе решению дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и вычислению несобственных интегралов.
Материал изложен на уровне современных требований и отвечает задачам фундаментальной математической подготовки специалистов физи- ко-математических и технических направлений.
Пособие сочетает в себе функции частично учебника (в кратком изложении), когда в каждой главе содержится теоретическая часть, а также и главным образом практикума по решению задач по всем разделам курса с решениями, указаниями и методическими рекомендациями по работе над конкретными разделами.
Взадачу автора входило сделать изложение максимально доступным и
вто же время достаточно строгим. В каждом разделе дан набор задач различной сложности, что удобно как для начального изучения курса, так и для углубления полученных ранее сведений из базового курса.
Кроме того, в некоторых разделах приводятся задачи, выходящие за рамки общепринятой программы (в частности, в главе о многозначных функциях, в главе, посвященной конформным отображениям, и некоторых других). Их можно рассматривать как необязательные, если изучение курса строго ограничено стандартной программой.
4
1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексным числом z называется пара действительных чисел (x, y) , взятых в определенном порядке. Число х, стоящее на первом
месте, называется действительной (реальной) частью комплексного числа (пишется: x = Re z ), число у, стоящее на втором месте, – мнимой частью комплексного числа (пишется: y = Im z ).
Множество комплексных чисел определяется заданием операций сложения и умножения. Число z =(x, y) называется суммой
двух комплексных чисел z1 = (x1, y1) и z2 = (x2 , y2 ) , если х = х1 + х2,
у = у1 + у2.
Произведением чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z =(x, y) , у которого x = x1x2 − y1y2 , y = x1y2 + x2 y1.
Вычитание и деление комплексных чисел определяются как
действия, |
обратные сложению и умножению. Так, z = z1 − z2 , если |
|||
z1 = z + z2 |
, и z = |
z1 |
(z2 ≠ 0) , если z z2 = z1 . (Равенство чисел |
|
z2 |
||||
|
|
|
||
z1 = z2 означает, что x1 = x2 , y1 = y2 .)
Действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных, у которых мнимая часть y = 0 , т.е. они имеют вид
(x,0) . Числа вида (0, y) называются чисто мнимыми (или просто
мнимыми). Числа (0,0), (1,0) и (0,1) называют нулем, единицей и мнимой единицей, соответственно. Из определения следует, что известные из арифметики свойства сложения и умножения для действительных чисел сохраняются и для чисел комплексных. Вво-
дится также понятие комплексного числа |
z , называемого сопря- |
||||||
женным данному комплексному числу |
z =(x, y) , |
|
по |
правилу: |
|||
z = (x,−y). Произведение |
z z =(x, y)(x, −y) = x2 + y2 |
|
и называется |
||||
квадратом модуля числа z. |
Отсюда модуль числа z : |
|
z |
|
= |
x2 + y2 |
|
|
|
||||||
(арифметическое значение корня из действительного, неотрицательного числа x2 + y2 ). Число (0,1) (мнимая единица) получило
5