Согласно второму закону Ньютона импульс силы равен коли честву движения, приобретенного телом при воздействии этой силы.
В данном случае сила, приводящая среду в движение, есть раз ность давлений (р2 — р г), действующих на единицу сечения в еди ницу времени. При этом закон сохранения импульса примет вид
P 2 ~ P i = Pi (Дуд — Щ) (ы2 — ux). |
(XVII.11) |
При движении среды в единицу времени затрачивается работа, равная (р2и 2 — Р Л ) . Отнеся эту работу к единице массы, получим
A |
P i U2— Р 1“1 |
уд |
(Л уд — Их) Pi • |
Работа, произведенная силами давления, расходуется на изме нение внутренней и кинетической энергии системы, следовательно, общий баланс энергии будет:
Р‘2Ц2 |
|
Р |
Р |
__iri |
(XVII.12) |
|
( Л уд — Их) Pi |
||||||
■^2 |
f i l I 1 ---------rT • |
|
||||
Уравнение сохранения массы (XVII. 10) |
примет вид: |
|
||||
Луд— щ |
__ |
Луд |
|
(XVII. 13) |
||
|
Ц1 |
|
V2 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
где V = 1/р — удельный объем. |
|
|
|
|
||
Записав уравнение (XVII. 1-3) как |
|
|
||||
( Д у д — “ l) V 2 = ( Д у д — щ ) Т7!. |
|
|||||
откуда |
|
“1^2— |
|
|
||
£»v |
' |
(XVII. 14) |
||||
|
уд |
F 2— F x |
|
|||
Вычтя иг из правой и левой части выражения (XVII.14), получим |
||||||
|
|
|
U-2— и1 |
|
(XVII.15) |
|
Д у д |
u i — ^ 1 Vx — V 2 |
■ |
||||
|
||||||
Разделив выражение (XVII.15) на Vlt |
получим |
|
||||
1)уд — |
U i |
U‘2 — 'U \ |
|
(XVII.16) |
||
П |
= |
F x- F 2 |
|
|||
|
|
|||||
Из уравнения (XVII.И) имеем |
|
|
|
|||
Луд — Щ |
Р2— Pi |
|
(XVII.17) |
|||
Vх |
и%— |
|
|
|||
|
|
|
||||
Приравнивая уравнения (XVII.16) и (XVII.17), получаем выра |
||||||
жение |
|
|
|
|
|
|
Щ - щ. = У(Р2-~Р1){Уг-У2). |
(XVII. 18) |
|||||
265
Отсюда с учетом выражения (XVII.17) легко вывести зависимость скорости распространения ударной волны от давления и объема
Л у ,— < i-V , |
■Pi |
(XVII.19) |
|
Используя выражения (XVII.16) и (XVII.17), преобразуем урав нение сохранения энергии (XVII. 12) к виду
Е. |
P o li o ---- P l l i l |
■(«i + ua)] = |
|
Pi —Pi |
|
{ ■ £ £ ) .
откуда, учитывая выражение (XVII.18) получим:
Е2 - Ех= -1 (рй4 - Pl) (F, - |
F s). |
(XVII.20) |
Выражение (XVII.20) называют у р а в н е н п е м |
Р э н к и |
|
н а — Г ю г о и и о. |
|
|
Таким образом, с учетом уравнения состояния получаем систему |
||
четырех уравнений с пятью непзвестнымн: |
|
|
Щ — Ui = V(Pi —P,)(T/i — т/2>; |
|
|
Z)ys- U i = Fi |
|
(XVII.21) |
Ег- Е 1 = ^.{р2т Pl) ( |
|
|
^г)> |
|
|
P = f(pT).
Задаваясь значением какого-либо одного из параметров ударной волны, можно определить значения всех остальных.
Выше было рассмотрено распределение воли в однородной не ограниченной среде. Однако в действительности сред с такими иде альными свойствами не бывает. Чаще всего приходится сталкиваться с решением задач, относящихся к прохождению волн по неоднород ным средам с выходом их (волн) на свободную поверхность или при взаимодействии их с препятствиями, что наиболее характерно для воздушных ударных волн.
П р и п о д х о д е ф р о н т а у д а р н о й в о л н ы к г р а н и ц е р а з д е л а д в у х с р е д , н е з н а ч и т е л ь н о о т л и ч а ю щ и х с я по п л о т н о с т и , н а г р а н и ц е в о з н и к а ю т д в е в о л н ы : п р о х о д я щ а я (ее н а з ы в а ю т е щ е и п р е л о м л е н н о й ) , к о т о р а я д в и ж е т с я п о в т о р о й с р е д е в т о м ж е н а п р а в л е н и и , ч т о и п а д а ю щ а я у д а р н а я в о л н а , и о т р а ж е н н а я ,
266
д в и ж у щ а я с я |
п о п е р в о й |
с р е д е |
в о б р а т н о м |
и а п р а в л е и и и. |
Как известно, |
характер |
отраженной и пре |
ломленной волны зависит в основном от параметров падающей волны и свойств обеих сред: о т р а ж е н н а я в о л н а м о ж е т б ы т ь у д а р н о й и л и в о л н о й р а з р е ж е н и я в з а в и с и м о с т и от с ж и м а е м о с т и с р е д ы. В упруго-пластических средах вследствие различий в законах нагрузки и разгрузки при прохождении фронта ударной волны вместо одной отраженной и одной преломленной образуется система отраженных и преломленных волн.
Когда ударная волна, проходящая по твердому телу, выходит иа свободную поверхность, сжатое вещество расширяется (разгру жается) практически до нулевого давления. Волна разгрузки (раз режения) проходит в обратном направлении с местной скоростью звука, а саморазгружающееся вещество приобретает дополнительную скорость в направлении первоначального движения волны.
Если тело граничит не с вакуумом, а с газом, то движущаяся граница разрушенного вещества играет по отношению к нему роль поршня и образует впереди себя ударную воздушную волну, поэтому вещество па границе с воздушной средой разгружается не до нуле вого, а до давления в воздушной ударной волне.
При соударении ударной волны с абсолютно недеформируемой преградой, например при набегании детонационной волны на абсо лютно жесткую стенку, массовая скорость их — 0. Скорость отра женной ударной волны зависит от показателя политропы к. В то же время отношение давления на границе раздела рх к детонационному давлению рп (это отношение обычно обозначается буквой я, мало изменяется при изменении показателя политропы к (например, при
к = 1 я = 2,5; при к = 1,4, я = 2,42, а при к = 3 я = 2,30).
Следовательно, независимо от состояния среды за фронтом детона ционной или ударной волны давление на фронте отраженной волны при отражении от недеформируемой стенки возрастает примерно в 2,4 раза.
Теоретический расчет импульса взрыва при отражении от неде формируемой стенки был дан академиком Я. Б. Зельдовичем и проф. К. П. Станюковичем.
Представим, что заряд помещен в прочную оболочку, исключа ющую боковой разброс ВВ, у правого торца заряда помещена неде-
формируемая стенка (рис. |
112). Пусть плоская детонационная волна |
||||||||
начинается у левого открытого торца заряда ВВ длиной Z. Для отра |
|||||||||
женной волны имеем х = |
1; t = 1/D; |
их =?= 0. |
Из уравнения изэнт- |
||||||
тропы для |
конденсированных |
ВВ |
р = Яр3 следует, |
что |
р/р0 = |
||||
— (р„/р)3, |
а |
поскольку |
при |
к = |
3 |
скорость |
звука |
в продуктах |
|
детонации |
с |
пропорциональна |
р, |
можно записать |
р/р0 = |
(с/с0)3. |
|||
Учитывая, |
что с = l/t, а с0 — 3/ 4 D, |
|
|
|
|
||||
(ХУИ.22)
267
Уравнение (XVII.22) выражает закон изменения давления у недеформпрованной стенки на торце заряда. Из графика (рис. ИЗ) видно, что давление у стенки падает чрезвычайно резко. Следователь но, импульс взрыва (заштрихованная на графике площадь) сообща ется преграде за очень короткий
промежуток времени
Рис. 112. Схема отражения дето
национной волны от иедеформпруемой стенки
21 х==и >
где D/2 — скорость волны разре жения.
При расчетах следует учитывать, что действие взрыва в условиях не посредственного контакта ВВ со средой в ряде случаев обусловлено не полным импульсом, а только не которой его частью. Кроме того, следует учитывать также истинные максимальные давления, возника ющие на границе раздела сред при отражении, которые зависят из со отношения между плотностью и сжи маемостью продуктов детонации и самой среды.
Полный импульс при отражении детонационной волны от преграды
|
/==S pdt = ^ S p 0( - L ) j" |
£ |
= |
|||||
|
|
l/D |
|
|
1ID |
|
|
|
Рис. 113. Графпк падения давле |
_ |
32 |
I |
|
|
|
||
- |
27 |
Sp0 D , |
|
|
|
|||
нпя у недеформнруемой степкп |
|
|
поперечного |
сече- |
||||
|
где S — площадь |
|||||||
|
нпя |
заряда. |
XI) |
равно р0 = |
р0D 2/A, |
|||
Так как детонационное давление (см. гл. |
||||||||
окончательно |
полный импульс |
|
|
|
|
|
|
|
/__32 о |
|
|
|
(XVII.23) |
||||
1 |
27 Л eT 1 - v - w |
s i'‘w = 4 r mD’ |
||||||
|
|
|
||||||
где тп = Slp0 — масса заряда.
Из полученного выражения следует, что величина импульса контактного взрыва возрастает с увеличением скорости детонации и плотности ВВ, а также зависит от геометрических размеров заряда. Уравнение показывает линейную зависимость между импульсом и длиной заряда, что в действительности не наблюдается. На прак тике не представляется возможности получить строго одномерное движение продуктов детонации, т. е. исключить боковой разлет
268