Материал: Модели управления функционированием систем подачи и распределения воды. Панов М.Я., Петров Ю.Ф

где p – число независимых цепей в составе структурного графа (СТГ) ВПС; d – число энергоузлов с определенным узловым напором (поз. 1-5, 16, рис. 5.3).

Цепной подграф в составе СТГ сетевой системы ВПС представляет собой связную разветвленную плоскую (планарную) структуру, один из вариантов которой иллюстрируется рис. 5.4, применительно к схеме сети ВПС (рис. 5.3).

Рис. 5.4. Цепной подграф ВПС:

1-5, 16 – фиксированные энергоузлы, ограничивающие независимые цепи

Фундаментальным условием линейной независимости множества J P

цепей является исключение в составе цепного подграфа любых (внутренних или внешних) контуров. Это условие является менее обременительным, чем для внешней сети, поскольку сетевая система ВПС формируется исключительно разветвленной структурой.

В соответствии с принятым вариантом цепного подграфа (рис. 5.4) начальные узлы независимых цепей отождествляются с насосными ЭУ (поз. 1- 5, рис. 5.3), конечным узлом является узел накопительной емкости (РЧВ, поз.16, рис. 5.3). Для последней пьезометрический уровень равен нулю, а H*Kj

=(Z+H)Kj =ZKj.

Напор, вырабатываемый насосом, определяется соответствующей напорной характеристикой погружного насоса и является определяемым.

Как отмечалось ранее, пьезометрический уровень H g может быть

определен либо на основе формулы Дюпюи (5.2), либо экспериментально. Последнее является более обнадеживающим.

Взадаче моделирования потокораспределения напор на входе в погружной насос полагается известным.

Всостав математической модели потокораспределения включаются, помимо цепных, узловые балансовые уравнения для узлов с незаданным (не

196

определяемым) напором, выражающие условия cплошности водопотоков в форме первого закона Кирхгофа для гидравлических сетевых систем:

sgn Qij 0,

участков, инцидентных узлу j; Q ij – расчетный расход участка i, инцидентного

узлу j; sgn – оператор присвоения положительного знака слагаемому с притоком к узлу j и отрицательного – с оттоком от узла.

Для схемы ВПС (рис. 5.3) число узлов с незаданным напором =10 (поз. 6-15, рисунка).

Переменными, подлежащими определению в составе математической модели потокораспределения возмущенного состояния (5.5)-(5.7), являются расходы всех участков сети ВПС и коэффициенты гидравлических сопротивлений управляемых дросселей.

Для перехода от модели возмущенного состояния к модели управления ВПС допускаем, что

где Q Nj (t) – расход, воспринимаемый погружным насосом j на времени t. Расход qSj (t) может быть получен на основе условия (5.4) в рамках

алгоритма реализации модели управления ВПС.

Условие (5.8), являясь достаточно очевидным, связывает расходы через погружные насосы с прогнозом водопотребления внешней сетью по часам суток, недель, месяцев и т.д., через уже известные расходы воды qSj (t).

Если условие (5.4) стабилизирует пьезометрический напор на входе в погружной насос Hqi, то условие (5.8) стабилизирует уровень воды в накопительной емкости РЧВ, не давая ей возможности для опорожнения или переполнения.

Для ВПС (рис. 5.3) условие (1.8) записывается так:

QN1 qS1 t ; QN2 qS2 t ; QN3 qS3 t ; QN4 qS4 t ; QN5 qS5 t .

Потенциальные возможности восстановления (в результате отбора воды погружными насосами) водоподачи скважиной определяются глубиной залегания и мощностью водоносных пластов и характеризуют, как быстро восстанавливает скважина свою работоспособность в процессе эксплуатации ВПС.

197

Режим водоподачи в скважину, то есть q Sj (t), j J N , в свою очередь

определяется и должен быть увязан с режимом водопотребления внешней сетью, объемом накопительной емкости и т.п. Если потенциал водоподачи скважин превышает водопотребление внешней сетью и скважины в составе ВПС быстро и своевременно восстанавливают водоподачу, проблем с исполнением заданного режима водоподачи и водопотребления не возникает. Система управления ВПС должна точно и своевременно исполнять режим откачки воды через погружные насосы в сеть ВПС и накопительные емкости. Однако это еще не означает, что расходы водоподачи в скважину из водоносного пласта равны расходам, потребляемым погружными насосами. Они могут отличаться в силу ряда причин: погрешностей моделирования; взаимного влияния УД, приводящего к депрессии их дроссельных характеристик; влияния инерционных слагаемых в составе уравнений гидравлики, обусловленных погрешностью допущения о квазистоционарности течения воды в трубах; погрешности исполнительных органов системы управления, измерительной аппаратуры; допущения постоянства динамического напора на входе в насосы; более глубоких причин, например трансцендентности уравнения Дарси, приближенностью уравнений Бернулли для потоков воды в трубах, погрешностями аппроксимации напорных характеристик насосов и т.д. В силу изложенного условие (5.8) является допущением, принимаемым для возможности формализации модели управления ВПС на основе модели возмущенного состояния. Поэтому в общем случае расходы воды Q Nj являются величинами неизвестными, подлежащими

определению в процессе моделирования, но в силу условий (5.4), (5.8) мы допускаем, что они нам известны и соответствуют одноименным расходам из состава прогноза водоподачи в скважину из водоносного пласта.

Обращаем внимание на то, что условие (5.8) полностью согласуется с условием (5.4) и условием установившегося движения воды в скважине, лежащего в основе формулы Дюпюи (5.2).

Представим модель управления функционированием ВПС, с учетом условия (5.8), в блочно-матричной форме:

где С, А, М – матрицы системы независимых цепей, узлов с незаданным потенциалом и матрица смежности ВПС соответственно; n1 – число реальных участков трубопроводной сети ВПС, исключая участки с присоединенными УД и участки, инцидентные энергоузлам погружных насосов; n1D – то же для участков с присоединенными УД; n1N – то же для участков, инцидентных энергоузлам погружных насосов; p = (d–1) – число независимых цепей в

фиксированный (заданный) потенциал узла j (где H Nj – напор, вырабатываемый погружным насосом); – число узлов ВПС с незаданным потенциалом; Т – признак транспонирования; Q Ni (t) , i J N – расход воды из состава заданного прогноза режима водоподачи, воспринимаемый погружным насосом, согласно (5.8); Qi , i J D – расчетный расход участка i с присоединенным дросселем.

Рассмотрим структуру топологических матриц, составленных из единичных элементов, применительно к схеме сети ВПС (рис. 5.3).

Топологическая матрица независимых цепей (рис. 5.4):

Топологическая матрица инциденций (рис. 5.3):

Топологическая матрица смежности (рис. 5.4):

199

Нелинейная математическая модель управления функционированием ВПС применительно к схеме (рис. 5.3) приведена ниже.

I.Цепные уравнения:

1)Z1 Hg1 HN1 Z16 S1 6 Q1 6 Q1 6 S6 7 Q6 7 Q6 7 S7 8 Q7 8 Q7 8

S10 8 Q10 8 Q10 8 S8 16 Q8 16 Q8 16 ;

5)

Z4 Hg4 HN4 Z16 S4 13 Q4 13 Q4 13 S13 11 Q13 11 Q13 11 S11 10 Q11 10 Q11 10

S10 8 Q10 8 Q10 8 S8 16 Q8 16 Q8 16 .

II. Узловые балансовые уравнения:

6) Q1 6 Q6 7 0 ; 7) Q9 7 Q6 7 Q7 8 0 ; 8) Q7 8 Q10 8 Q8 16 0;

9) Q2 9 Q9 7 0 ; 10) Q11 10 Q15 10 Q10 8 0 ; 11) Q12 11 Q13 11 Q11 10 0; 12) Q3 12 Q12 11 0 ; 13) Q4 13 Q13 11 0 ; 14) Q5 14 Q14 15 0 ;

15) Q14 15 Q15 10 0 .

Прокомментируем, сохраняет ли объединенная матрица (5.9), (5.10) квадратную конфигурацию при переходе от модели возмущенного состояния к модели управления функционированием ВПС. С этой целью проведем анализ сравнения её числа столбцов и строк:

а) число столбцов, определяющее число неизвестных участковых расходов и переменных коэффициентов S участков с присоединенными УД, с учетом условия (5.8):

n n1N Q n1D S ;

б) число строк, определяющее число уравнений в составе модели управления ВПС:

200