Материал: Моделирование атак сети массового обслуживания. Бугров Ю.Г., Остапенко Г.А

. (3.15)

Из второго, с учетом (2.15), получим:

. (3.16)

Из третьего, с учетом (2.16),

. (3.17)

И вообще, для любого k (от 1 до п):

. (3.18)

В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данно­го состояния S_k), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S_k).

Таким образом, все вероятности состояний p_0 ,p_1, ...,p_n выражены через одну из них (p₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие (3.14).

Получим, вынося за скобку p₀:

.

Отсюда получим выражение для р₀:

(3.19)

Заметим, что коэффициенты при р₀ в каждой из них представля­ют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (3.19). Зна­чит, вычисляя р₀, мы уже нашли все эти коэффици­енты.

Полученные формулы будут нам полезны при дальнейшей разработке математической модели системы массового обслуживания учитывающей воздействие на нее угроз отказа в обслуживании.

3.6. Формула Литтла

Теперь необходимо вывести формулу, связывающую (для предельного, ста­ционарного режима) среднее число заявок L_сист на­ходящихся в системе массового обслуживания (т. е. об­служиваемых или стоящих в очереди), и среднее вре­мя пребывания заявки в системе W_сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многока­нальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный ре­жим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, поки­дающих ее: оба потока имеют одну и ту же интен­сивность К. Обозначим: Х(t) — число заявок, прибывших в СМО до момента t, Y(t) — число заявок, покинувших СМО до момента t. И та, и другая функции являются слу­чайными и меняются скачком (увеличиваются на еди­ницу) в моменты приходов заявок (X(t)) и уходов зая­вок (Y(t)) [65].

Вид функций X(t) и Y(t) показан на рис. 3.9; обе линии — ступенчатые, верхняя — X(t), нижняя — Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z(t) = X(t) — Y(t) есть не что иное, как чис­ло заявок, находящихся в СМО. Когда линии Х(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рис. 3.9. Вид функций X(t) и Y(t)

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чер­тежа) и вычислим для него среднее число заявок, на­ходящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функ­ции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала T:

. (3.20)

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 3.10. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высо­ту, равную единице, и основание, равное времени пре­бывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t₁ , t₂,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоуголь­ники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли [68].

Таким образом, можно считать, что

, (3.21)

где сумма распространяется на все заявки, пришед­шие за время Т.

Разделим правую и левую часть (3.20) на длину интервала Т, Получим, с учетом (3.19),

. (3.22)

Разделим и умножим правую часть (3.22) на интенсивность X:

.

Но величина есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t_i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W_сист. Итак,

,

откуда

. (3.23)

Это и есть формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при лю­бой дисциплине обслуживания среднее время пре­бывания заявки в системе равно среднему числу зая­вок в системе, деленному на интенсивность потока заявок [70].

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заяв­ки в очереди W_оч и среднее число заявок в очере­ди L_оч:

. (3.24)

Для вывода достаточно вместо нижней линия на рис. 3.9 взять функцию U(t) — количество заявок, ушедших до момента t не иа системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находит­ся в ней нулевое время).

3.7. Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Задача ставится так: имеется n ка­налов (линий связи), на которые поступает поток зая­вок с интенсивностью . Поток обслуживании имеет интенсивность (величина, обратная среднему време­ни обслуживания ). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффектив­ности:

А — абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу вре­мени;

Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых си­стемой;

P_отк — вероятность отказа, то есть того, что заявка по­кинет СМО необслуженной;

— среднее число занятых каналов.

Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов);

S₀ – в СМО нет ни одной заявки,

S₁ ­– в СМО находится одна заявка (один канал за­нят, остальные свободны),

……………………..

S_k – в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

……………………..

S_n – в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения (рис. 3.10). Разметим этот граф — про­ставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсив­ностью (как только приходит заявка, система пере­скакивает из S₀ в S₁). Тот же поток заявок переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое (верхние стрелки на рис. 3.10).

Рис. 3.10. Граф состояний системы массового обслуживания

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S₁ (работает один ка­нал). Он производит обслуживаний в единицу вре­мени. Проставляем у стрелки интенсивность . Теперь представим себе, что система находится в со­стоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы либо закончил обслуживание пер­вый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна ; проставляем ее у со­ответствующей стрелки. Суммарный поток обслужива­ния, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность , каналами — _. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 3.10.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (3.18), (3.19) для финаль­ных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (3.19) получим:

(3.25)

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для :

Заметим, что в формулы (3.25), (3.26) интенсив­ности и входят не по отдельности, а только в ви­де отношения _. Обозначим

, (3.27)

и будем называть величину р «приведенной интенсив­ностью потока заявок». Ее смысл — среднее число заявок, приходящее за среднее время об­служивания одной заявки.

Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (3.25), (3.26) в виде:

, (3.28)

(3.29)

Формулы (3.28), (3.29) для финальных вероятно­стей состояний называются формулами Эрланга [70].

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем — вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслуже­на). Для этого нужно, чтобы все n каналов были за­няты:

. (3.30)

Отсюда находим относительную пропускную спо­собность—вероятность того, что заявка будет обслу­жена:

. (3.31)

Абсолютную пропускную способность получим, ум­ножая интенсивность потока заявок на :