Материал: Морозов Введение в теорию горячей плазмы Ч.1 2011

Выбранную нами площадку пересекают только частицы, импульсы которых лежат в малом интервале от p − q до p, и интегрирование по dp можно заменить просто умножением на длину интервала q .

В противоположном направлении поток частиц равен:

S − ∑d3q d3p1w p, p1, −q f p q fi p1 − q q . (X.1.11)

и разлагая в ряд Тейлора функции распределения, вычитаем из выражения (X.1.10) выражение (X.1.11):

Вследствие соотношения (X.1.12) интеграл по q (X.1.13) можно представить как половину интеграла от − до . Вероятность w можно выразить через сечение рассеяния и относительную скорость

216

Вычислим тензор B для кулоновских столкновений. При малых углах рассеяния переданный импульс q перпендикулярен относительной скорости, т.е.

Следовательно, тензор B является поперечным по отношению к вектору относительной скорости

v − v1.

Из соотношений (X.1.15) и (X.1.17) видно, что для максвелловских функций распределения S обращается в ноль, так как производная по скорости от максвелловской функции пропорциональна скорости.

Сечение может зависеть только от относительной скорости. Единственный возможный поперечный тензор должен иметь вид:

217

где скаляр B имеет вид

Рассмотрим две частицы в системе их центра инерции. В этой системе при малых углах рассеяния

q |v − v1 | .

Подставляя это выражение в (X.1.20), получаем:

Здесь dO 2 sin d − элемент телесного угла, e и ei − заряды частиц. Транспортное сечение, таким образом, выражается так:

218

Величина L d / называется кулоновским

o

логарифмом. Легко видеть, что кулоновский логарифм расходится как на нижнем, так и на верхнем пределе. Расходимость на верхнем пределе связана с тем, что мы проводили вычисления при малых углах рассеяния. Однако слабая логарифмическая расходимость позволяет ограничить углы рассеяния величиной max ≈ 1 c хорошей степенью точности. Расходимость на нижнем пределе связана с тем, что кулоновское сечение медленно падает с ростом прицельного расстояния, т.е. с уменьшением угла рассеяния. Однако в плазме поле рассеивающей частицы экранируется другими частицами на расстоянии порядка дебаевского радиуса rD. Поэтому интеграл можно обрезать на нижнем пределе величиной min.

Угол рассеяния при малых можно оценить так:

Здесь F − кулоновская сила, a − минимальное

расстояние между частицами. Для минимального угла рассеяния можно положить a rD. Таким образом,

219

где S имеет вид (X.1.26), называется интегралом столкновений в форме Ландау.

220