Научная работа: Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для численного решения квазилинейного уравнения переноса

С целью иллюстрации всех особенностей поведения решения для каждого из начальных профилей представлены графики решения для нескольких промежуточных моментов времени. При этом каждый рисунок содержит графики точного решения и численных решений для различных чисел Куранта. Такие рисунки приведены для предложенной монотонизованной схемы К. И. Бабенко, неявной схемы с левой разностью и метода прыжкового переноса. Для всех схем ниже представлено описание полученных результатов.

Полученные результаты позволяют проанализировать качественные и количественные свойства предложенной схемы, а также сравнить ее с другими, рассмотренными в данной работе. Выводы, сделанные при сравнительном анализе разностных схем, приведены далее.

Явная схема с левой разностью

Схема передает решение весьма грубо, разрывы решений “размазываются” на несколько шагов (от 4 до 10). Размазывание решения тем сильней, чем меньше . Решения типа волн разрежения размазываются на большее количество шагов по сравнению с ударными волнами. Этот дефект решения усиливается со временем. Для начальных профилей №№ 1, 2, 4 на тех интервалах времени, на которых происходит эволюция точного решения без изменения амплитуды, амплитуда численного решения непрерывно уменьшается. Поведение решения в эти моменты времени и в последующие, сопровождающиеся образованием и дальнейшим распространением ударных волн, практически ничем не отличается. Моменты образования ударных волн трудно прослеживаются. Скорость распространения ударных волн не зависит от и совпадает со скоростью распространения ударных волн в точном решении. монотонизация схема бабенко квазилинейный уравнение

Таблицы ошибок для явной схемы с левой разностью (локально при t = T)

Таблицы ошибок для явной схемы с левой разностью (интегрально по t)

Неявная схема с левой разностью

Решение, полученное при помощи этой схемы, повторяет точное еще хуже, чем в случае аналогичной явной схемы. Для этой схемы характерно еще более сильное размазывание разрывов (от 7 до 15 шагов по пространству), которое усиливается с увеличением числа Куранта. Как видно из рисунков 5.2.1-5.2.6, для численного решения характерно "выгибание" заднего фронта на начальных моментах времени, что усиливается при увеличении . С течением времени зависимость численного решения от числа Куранта ослабевает. Для начальных профилей №№ 1, 2, 3, 4 численное решение, полученное по явной и неявной схемам с левой разностью, эволюционирует в волну треугольного профиля с распространяющейся вправо ударной волной и уменьшающейся амплитудой, что соответствует точному решению. Однако максимум амплитуды численного решения отстает от максимума точного. На рисунках численному решению, наиболее близкому к точному, соответствует = 0.1.

Таким образом, особенности эволюции решения в виде образования и распространения ударных волн, а также взаимодействие ударных волн и волн разрежения, передаются схемами с левой разностью плохо.

Таблицы ошибок для неявной схемы с левой разностью (локально при t = T)

Таблицы ошибок для неявной схемы с левой разностью (интегрально по t)

t=6 t=10

t=70 t=170

Рис. 5.2.1 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=18 t=40

t=90 t=160

Рис. 5.2.2 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “прямоугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=60 t=160

Рис.5.2.3 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “левого треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=5 t=20

Рис. 5.2.4 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “правого треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=20 t=80

Рис. 5.2.5 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “ступеньки вниз” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=10 t=40

Рис. 5.2.6 Численное решение по неявной схеме с левой разностью для “ступеньки вверх” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

3. Схема Lax-Wendroff'a

Для данной схемы характерно явление нормальной дисперсии. Образование ударных волн сопровождается появлением осцилляций за их фронтом. Для начальных профилей №№ 2, 4, 6 характерно возникновение осцилляций на левом фронте образующейся волны разрежения. Эти осцилляции прогрессируют со временем, что приводит к увеличению погрешности вычислений (особенно в норме С). Так, при = 0.5 для начального профиля № 2 в момент времени t = 10 относительная ошибка вычислений в норме С равнялась 0.17, а в момент t = T - 1.076.

Расплывание решения проявляется в меньшей мере, чем у решений, полученных по явной и неявной схемам с левой разностью. Разрывы решений передаются этой схемой лучше, размазывание разрывов происходит на 3-5 шагах.

Таблицы ошибок для схемы Lax-Wendroff'a (локально при t = T)