Научная работа: Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для численного решения квазилинейного уравнения переноса

Таблицы ошибок для схемы Lax-Wendroff'a (интегрально по t)

4. Метод прыжкового переноса

По сравнению с указанными выше схемами решение, полученное с использованием метода прыжкового переноса, лучше передает точное. Основным достоинством метода является способность точно передавать разрывы типа ударных волн. Однако в силу специфики данного метода решение меняется скачкообразно, поэтому точное положение ударных волн можно наблюдать только через определенные интервалы времени. Так, для начального профиля № 5 при = 0.5 решение на каждом 4-ом временном слое скачком смещается вправо на один шаг по x, догоняя тем самым точное решение. Таким образом, ошибка вычислений в эти моменты времени нулевая. Однако увеличение числа Куранта приводит к появлению дефектов численного решения в виде “ступенек” и неверных скоростей движения ударных волн. Из рис. 5.4.3 видно, что для начального условия № 4 на волне сжатия, независимо от числа Куранта, образуются “ступеньки”, а рис. 5.4.2, 5.4.5 показывают, что при = 0.9 ударные волны в численном решении движутся с меньшими скоростями, чем ударные волны в точном решении. На рис. 5.4.1-5.4.5 численному решению, наиболее близкому к точному, соответствует = 0.5.

Таблицы ошибок для метода прыжкового переноса (локально при t = T)

Таблицы ошибок для метода прыжкового переноса (интегрально по t)

t=18 t=40

Рис. 5.4.1 Численное решение для метода прыжкового переноса для “прямоугольника” (=0,5; 0,9)

t=60 t=160

Рис. 5.4.2 Численное решение для метода прыжкового переноса для

“левого треугольника” (=0,5; 0,9)

t=5

Рис. 5.4.3 Численное решение для метода прыжкового переноса для

“правого треугольника” ( = 0,5; 0,9)

t=10 t=40

Рис. 5.4.4 Численное решение для метода прыжкового переноса для

“ступеньки вверх” ( = 0,5; 0,9)

t=20 t=80

Рис. 5.4.5 Численное решение для метода прыжкового переноса для

“ступеньки вниз” ( = 0,5; 0,9)

5. Монотонизованная схема “Бабенко”

Полученное по данной схеме решение наилучшим по сравнению с рассмотренными выше схемами образом передает точное во всем изученном диапазоне изменения чисел Куранта. У схемы не наблюдается явлений нормальной и аномальной дисперсии, расплывание решения незначительно - размазывание разрывов происходит на меньшее количество шагов по сравнению с другими рассмотренными схемами (1-3 шага). Наблюдается небольшое смещение вправо левого фронта образующейся волны разрежения (для начальных профилей №№ 2, 4, 6). Рисунки 5.5.1-5.5.6 показывают, что численные решения при различных числах Куранта практически не отличаются друг от друга, при этом численному решению, наиболее близкому к точному, соответствует = 0.1.

Таблицы ошибок для схемы К. И. Бабенко (локально при t = T)

Таблицы ошибок для схемы К. И. Бабенко (интегрально по t)

t=6 t=10

t=70 t=170

Рис. 5.5.1 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=18 t=40

t=90 t=160

Рис. 5.5.2 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “прямоугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=60 t=160

Рис. 5.5.3 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “левого треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=5 t=20

Рис. 5.5.4 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “правого треугольника” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=20 t=80

Рис. 5.5.5 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “ступеньки вниз” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

t=10 t=40

Рис. 5.5.6 Численное решение по схеме К. И. Бабенко для “ступеньки вверх” ( = 0,1; 0,5; 0,9)

6. Сравнение схем

На основе полученных численных результатов были сравнены рассмотренные схемы. Ниже приведены таблицы сравнения, содержащие названия тех схем, которые при данном числе Куранта дали наименьшую относительную ошибку в соответствующей норме. Если в ячейке таблицы указаны несколько схем, то ошибки вычислений, полученные для данных схем, либо совпадают, либо незначительно отличаются друг от друга. При этом используются обозначения: явная схема с левой разностью - ЯЛ, неявная схема с левой разностью - НЛ, схема Lax-Wendroff'a - LW, метод прыжкового переноса - ПП, схема К.И. Бабенко - Б.

Сравнение схем по локальным (при t = T) ошибкам

1) При г = 0.1 в нормах С и L2 для начальных условий №№ 1, 6 лучшие результаты показала предложенная в данной работе схема К.И. Бабенко, для условий №№ 2, 3 - неявная схема с левой разностью и для условия № 5 - метод прыжкового переноса. В норме L1 лучшей оказалась монотонизованная схема К.И. Бабенко в случае начальных условий №№ 1, 5, 6, метод прыжкового переноса - для начального профиля № 2 и схемы с направленными разностями - для условий №№ 3, 4.