Научная работа: Нелинейная монотонизация схемы К.И. Бабенко для численного решения квазилинейного уравнения переноса

2) При г = 0.25 в норме С для начального условия № 1 лучшие результаты получены с использованием схемы Lax-Wendroff'a, неявной схемы с левой разностью - для условий №№ 2, 3, метода прыжкового переноса - для условия № 5 и монотонизованной схемы К.И. Бабенко - для условия № 6. В норме L1 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко для начальных условий №№ 1, 5, 6, метод прыжкового переноса - для условий №№ 2, 3 и явная схема с левой разностью - для условия № 4. В норме L2, как и при г = 0.1, для начальных условий №№ 1, 6 лучшие результаты показала схема К.И. Бабенко, для условий №№ 2, 3 - неявная схема с левой разностью, для условия № 4 - явная схема с левой разностью и для условия № 5 - метод прыжкового переноса.

3) При г = 0.5 в норме С для начальных условий №№ 1, 3 лучшей является схема Lax-Wendroff'a, неявная и явная схемы с левой разностью - для условий №№ 2 и 4 соответственно, метод прыжкового переноса - для условия № 5 и монотонизованная схема К.И. Бабенко - для условия № 6. В норме L1 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко для начальных условий №№ 1, 5, 6, явная схема с левой разностью - для условия №№ 2, 4 и схема Lax-Wendroff'a - для условия № 3. В норме L2 для начальных условий №№ 1, 5, 6 лучшие результаты показала схема К.И. Бабенко, для условий №№ 2, 3 - неявная схема с левой разностью и для условия № 4 - явная схема с левой разностью.

4) При г = 0.9 во всех нормах для начальных профилей №№ 1, 5, 6 минимальную ошибку дает схема К.И. Бабенко, а для условий №№ 2, 3, 4 - схемы с направленной разностью.

Сравнение схем по интегральным (по времени) ошибкам

1) При г = 0.1 в норме С для начального условия № 4 лучшие результаты показала монотонизованная схема К.И. Бабенко, для остальных начальных условий - неявная схема с левой разностью. В норме L1 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко в случае начальных условий №№ 1, 4, 5, метод прыжкового переноса - для начальных профилей №№ 2, 5, 6 и схема с левой разностью - для условия № 3. В норме L2 минимальная ошибка получена с использованием схемы К.И. Бабенко для условий №№ 1, 5, явной и неявной схем с левой разностью - для условий №№ 2, 4 и № 3 соответственно.

2) При г = 0.25 в норме С для начального условия № 4 лучшие результаты дает монотонизованная схема К.И. Бабенко, для начальных условий №№ 3, 5 - неявная схема с левой разностью, для условий №№ 2, 6 - схема Lax-Wendroff'a и для условия № 1 - явная схема с левой разностью. В норме L1 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко в случае начальных условий №№ 1, 4, 5, метод прыжкового переноса - для остальных начальных профилей. В норме L2 минимальную ошибку дает схема К.И. Бабенко для условий №№ 1, 5, явная схема с левой разностью - для условий №№ 2, 4, неявная схема с левой разностью - для условия № 6 и метод прыжкового переноса - для условия № 3.

3) При г = 0.5, как и при г = 0.25, в норме С для начального условия № 4 наименьшую ошибку дает монотонизованная схема К.И. Бабенко, для начальных условий №№ 3, 5 - неявная схема с левой разностью, для условий №№ 2, 6 - схема Lax-Wendroff'a и для условия № 1 - явная схема с левой разностью. В норме L1 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко для начальных условий №№ 1, 3, 4, 5, метод прыжкового переноса - для условия № 6 и явная схема с левой разностью - для условий № 2. В норме L2 лучшие результаты показывает схема К.И. Бабенко для условий №№ 1, 5, явная схема с левой разностью - для условий №№ 2, 4, неявная схема с левой разностью - для условия № 3 и схема Lax-Wendroff'a - для условия № 6.

4) При г = 0.9 в норме С для начальных условий №№ 1, 4 лучшая схема - схема К.И. Бабенко, для остальных начальных условий - неявная схема с левой разностью. В норме L1 лучшие результаты дает схема К.И. Бабенко для начальных условий №№ 1, 3, 5, 6, явная схема с левой разностью - для условий №№ 2, 4. В норме L2 лучшей оказалась схема К.И. Бабенко для условий №№ 1, 5, 6, явная схема с левой разностью - для условий №№ 2, 4, неявная схема с левой разностью - для условия № 3.

Заключение

Предложенная авторами в данной работе нелинейная монотонизованная схема К.И. Бабенко более высокое качество решения квазилинейного уравнения переноса во всем рассмотренном диапазоне чисел Куранта. Несомненным достоинством этой схемы является способность передавать разрывы решения с их размазыванием на наименьшее количество шагов по сравнению с другими рассмотренными схемами. Отметим также, что предложенный в [9] метод прыжкового переноса, несмотря на его способность точно воспроизводить численное решение, для некоторых начальных условий при определенных числах Куранта дает более низкое качество решения, что, в частности, связано с появлением ступенек, приводящих к сильному искажению решения.

Литература

Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972 г., 736 с.

Калиткин Н. Н. Численные методы. - М., Наука, Физматлит, 1978 г., 512 с.

Головизнин В. М., Карабасов С. А. Нелинейная коррекция схемы “Кабаре”. // Мат. Моделирование, № 12 (1998 г.). с. 107-123.

Галанин М. П., Еленина Т. Г. Сравнительный анализ разностных схем для линейного уравнения переноса. // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1998 г., № 52, 33 с.

Галанин М. П., Еленина Т. Г. Нелинейная монотонизация разностных схем для линейного уравнения переноса. // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1999 г., № 44, 33 с.

Головизнин В. М., Карабасов С. А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках. // Препринт ИБРАЭ № IBRAE-2000-04, Москва, 2002 г., 40 с.

Галанин М. П., Еленина Т. Г. Нелинейная монотонизация схемы К. И. Бабенко (“квадрат”) для уравнения переноса. // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2002 г., № 4, 26 с.

Рождественский Б. Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. - М.: Наука. Физматлит,1968 г.

Бабенко К. И., Воскресенский Г. П. Численный метод расчета пространственного обтекания тел сверхзвуковым потоком газа. // ЖВМиМФ, 1961 г., т. 1, № 6, с. 1051-1060.

Самарский А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, Физматлит, 1977 г., 656 с.

Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. - М.: Изд-во МФТИ, 1994 г., 528 с..

Галанин М. П., Еленина Т. Г. Тестирование разностных схем для линейного уравнения переноса. // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1999 г., № 40, 42 с.

Дж. Уизем. Нелинейные волны. - М.: Мир, 1975 г.

Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. - М.: Наука. Физматлит, 1980 г., 352 с.