Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В
ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
для организации самостоятельной работы по дисциплине "Математика" студентов направления 11.03.01 "Радиотехника", профиля "Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов", специальности 11.05.01 "Радиоэлектронные системы и комплексы", профиля "Радиоэлектронные системы передачи информации" очной формы обучения
Воронеж 2016
Составители: канд. физ.-мат. наук A. В. Бондарев, канд. физ.-мат. наук А.В. Ряжских УДК 517.9
Неопределенные интегралы: методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине "Математика" студентов направления 11.03.01 "Радиотехника", профиля "Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов", специальности 11.05.01 "Радиоэлектронные системы
икомплексы", профиля "Радиоэлектронные системы передачи информации" очной формы обучения / ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А.В. Бондарев, А.В. Ряжских. Воронеж, 2016. 33 с.
Методические указания содержат рекомендации по самостоятельному изучению раздела "Неопределенные интегралы" курса "Математика" и состоят из 9 параграфов. В каждом из них изложен теоретический материал по предлагаемым для самостоятельного изучения темам и разобраны типовые задачи.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 11.03.01 и специальности 11.05.01, дисциплине “Математика”.
Предназначены для студентов первого курса (2 семестр). Методические указания подготовлены в электронном виде
исодержатся в файле Неопред_интегралы.pdf.
Библиогр.: 5 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Б. Ускова Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат.
наук, проф. И.Л. Батаронов Издается по решению редакционно-издательского совета
Воронежского государственного технического университета
ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет", 2016
1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
В дифференциальном исчислении решается задача: по
данной функции |
f |
x |
найти |
ее производную. Интегральное |
||
исчисление решает |
|
обратную |
задачу: найти функцию |
F x , |
||
зная ее производную |
|
x f |
x . |
|
||
F |
|
|||||
Функция F x |
|
называется первообразной функции |
f x |
|||
на отрезке |
a;b , если во всех точках этого отрезка выполняется |
|||||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x f |
x . |
|
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
||||
Например, |
первообразной функции |
y x |
2 |
является функция |
||||||||
|
||||||||||||
|
x |
3 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
, так как |
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Очевидно, |
|
что |
|
функции вида |
F x |
|||||
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 . |
|
|
||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Теорема. |
Если |
||
функции |
f x |
на |
||||
первообразными будут также любые
|
x |
3 |
|
|
|
|
C , где С – постоянная, поскольку |
||
3 |
||||
|
|
|||
функция |
F x |
является первообразной |
отрезке |
a;b , то множество всех |
|
первообразных для f x задается формулой
F x C
, где С –
постоянное число.
Множество всех первообразных функций
F x C
для
функции
функции
f x
f x
называется неопределенным интегралом от
и обозначается |
|
f x dx . Таким образом, по |
|
определению
|
|
|
|
|
|
f x dx F x C . |
(2) |
Здесь |
f x |
называется подынтегральной |
функцией, |
f x dx – подынтегральным выражением, x – переменной ин- |
|||
тегрирования, |
|
– знаком неопределенного интеграла. |
|
|
|
|
|||
Операция |
|
нахождения неопределенного |
интеграла |
|
функции называется интегрированием этой функции. |
|
|||
Имеет место следующая теорема. Если |
функция |
f |
||
отx
непрерывна на отрезке
a;b
, то для этой функции существует
первообразная, а значит, и неопределенный интеграл.
2. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул таблицы производных. Справедливость приведенных ниже формул легко проверить дифференцированием, т.е. установить, что производная от правой части равняется подынтегральной функции.
Интегралы в приводимой ниже таблице называются табличными. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных от элементарных функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахождения первообразных сводятся к указанию приемов, приводящих искомый интеграл к табличному. Следовательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узнавать.
xa 1
1. xa dx a 1 C , (
3. ax dx ax C . ln a
a
1
).
2.dxx ln 
x
C .
4.ex dx ex C .
2
5. |
|
sin x dx cos x C |
||||
|
|
|||||
7. |
|
tg x dx ln cos x |
||||
|
|
|||||
9. |
|
dx |
|
tg x C . |
||
cos |
2 |
x |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
11. |
|
dx |
arctg x C |
|||
1 x |
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
.
C
.
.
6. |
|
cos x dx sin x C |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
8. |
|
ctg x dx ln sin x C |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||
10. |
|
|
dx |
|
ctg x C . |
||||||||||
sin |
2 |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
a |
|
dx |
|
|
1 |
arctg |
x |
|
||||||
2 |
x |
2 |
a |
a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.
C
.
13.
15.
|
|
dx |
|
arcsin x |
||||
|
1 x |
|||||||
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
1 |
ln |
a |
|
a |
2 |
x |
2 |
2a |
a |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||
C |
||
x |
|
|
x |
||
|
||
.
C
.
14.
16.
|
|
dx |
|
arcsin |
x |
C . |
||||
a |
|
x |
a |
|||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
ln x |
x |
2 |
a |
2 |
C |
||
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
a |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
.
В таблице производных нет формул, соответствующих формулам 7, 8, 12, 14, 15 и 16. Однако их справедливость также
легко устанавливается с помощью дифференцирования. |
|
||||||
Например, |
в |
случае |
формулы |
(7) |
имеем: |
||
|
|
sin x |
tg x . |
|
|
|
|
ln cos x |
|
cos x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
tg x dx ln cos x C . |
|
3.СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, т.е. если
F x
f
x
, то
|
|
|
|
f x dx |
|
|
|
F x C |
f x . |
(3) |
Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство
3x2 4 dx x3 4x C верно, так как x3 4x C 3x2 4 .
3