Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 5. Найти

e	dx
	x	1

. Обозначим

e	x

. Тогда

x ln t

	dx	dt
	dx	t
		t

e	dx
	x	1

C ln

.Следовательно,

dt ln t ln t 1

C ln

t 1

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. Изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Задачи для самостоятельного решения

					7					2	5
1.	cos x 5sin x 6					dx	2.	x 2		x	5	dx
1.	cos x 5sin x 6					dx	2.	x 2				dx
4.		ex		dx		5.	x cos		3x2	1 dx
4.				dx		5.	x cos		3x2	1 dx
	2ex		3
	2ex		3

3.

6.

xdx

x2 2 3

		dx
cos	2	x(3tgx 1)
cos		x(3tgx 1)

	2ln x 3			3
7.	2ln x 3					dx
			x


10.		1 cos x				dx
					2	dx
		(x	sin x)		2
		(x	sin x)

13. 2ex 3 4 ex dx

8. xe4 x2 dx

11.		cos x
			2
	5	sin		x

14. 2ln x x

1 dx

	(arcsin x)				2		1
9.	(arcsin x)						1
9.							dx
							dx
			1 x		2
			1 x
12.				x		4	dx
		x	2	4		4

15. x 5 2x2 6 dx

16.	arctg
	1 x		2


19.	x sin 5

22.	1 x	2

x	dx
	dx
2x		2	dx
2x			dx
dx
(arcsin x)				3
(arcsin x)

17.
17.
20.
23.
23.

	2		4
x3	x		4	dx
x3				dx
x	3	dx
x		dx
1 x				8
1 x
3ln x					2	2
3ln x					2	dx
			x			dx
			x

18.
18.
21.
21.
24.

e	3 sin x	cos xdx

			cos x			dx
3	2sin x 5					dx
3

	e	2x		dx
	e			dx
4	e		2x		1
	e				1

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Пусть u и v – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда дифференциал произведения uv равен:

d uv u dv v du . Интегрируя это равенство, получим:d uv uv u dv v du

или

	u dv uv		v du

(13)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений, которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскание функции v по ее дифференциалу dv и вычисление интеграла

v du

составляли более простую задачу, чем непосредственное

вычисление интеграла u dv .

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

P x e	kx	dx

P x sin kx dx

P x cos kx dx , где P x – многочлен, k – число. Здесь удобно

положить тели.

P x

, а за dv обозначить все остальные сомножи-

Интегралы вида

P x arcsin x dx

P x arccos x dx ,

P x ln x dx ,

P x arctg x dx ,

P x arcctg x dx . Здесь удобно

положить

dv P x dx

, а за u обозначить остальные сомножите-

ли.

Пример

Найти

2x 1 e

dx .

Положим

u 2x 1,

dv e

dx . Тогда

du 2dx ,

(можно положить

C 0 ). Следовательно, по формуле интегрирования по частям:

2x 1 e

dx 2x 1

2 dx

2x 1 e

Пример 2. Найти

dx . Пусть u x

, dv e

. Тогда

2x dx

e	x

. Поэтому

	2	x	dx
	x	e	dx

Для вычисления интеграла


2		e		x	2
x		e			2
	e		x		x dx
			x

e	x	x dx .

снова применим формулу

интегрирования по частям:					u x ,
v e	x	. Следовательно
v e		. Следовательно
		ex x dx x ex ex dx
Поэтому окончательно			2	x	2	e
Поэтому окончательно			x	e	dx x	e

Пример 3. Найти		arctg x dx .

	x	dx .			Тогда
	dv e
x ex ex C .
x	2 x e		x	e	x	C .

Пусть		u arctg x ,

Тогда du	1	dx , v x . Поэтому
	1 x2

							x
	arctg x dx x arctg x					1 x
	arctg x dx x arctg x
x arctg x		1			C.
x arctg x		2	ln 1 x2		C.
		2
	Пример 4.			Найти			ln x
	Пример 4.			Найти			ln x

2	dx

dx .

x arctg x		1
x arctg x		2
		2
Пусть	u ln

	d

x ,

	x2
1	x2
1 x
	2
dv dx

. Тогда

1 x

v xln

. Поэтому

x dx x ln x	x	1	dx
		x

x ln

x C

Задачи для самостоятельного решения

1.		3x 2 e					x	dx


4.	5 x sin 4xdx
7.	x		2	sin 4xdx



10.		ln(x			2	1)dx


13.		arctg 2x dx


2.	3x				7 cos 2xdx
5.	x3			x	dx


8.	x	3	sin 2xdx


11.		x		2	ln x 3 dx

14. x arctg 3x dx

3.	2x 3 e	3x	dx

6.		x		2	cos xdx
				2


9.		ln x 3 dx
9.		ln x 3 dx
12.	(x 1) ln					2	(x 1)dx
	(x 1) ln						(x 1)dx

15.			arccos 2xdx
15.

16. x3 ln x 7 dx

17.

3	arctg x dx
x

18.

arcsin x	2	dx

6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

6.1. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов:

A x

m 1

... A

f x

(14)

B x

n 1

... B

где

Pm x

– многочлен степени m, а Qn x – многочлен степени

Если

степень числителя

меньше

степени

знаменателя

( m n ), то дробь называется правильной, в противном случае

( m n ) дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь

P x

можно

Q x

путем деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

P x	L x	R x
			,	(15)
Q x		Q x

где

L x

– многочлен, а

R Q



x x



– правильная рациональная

дробь.

Правильные рациональные дроби вида

1.		A	,
		x a

2.		A		(k – целое положительное число 2 ),
		x a
			k
3.		Ax B			(корни знаменателя комплексные, т.е.

	x2 px q
4.		Ax B				(k – целое положительное число

		x2 px q k


p		2	4q 0 ),

2	, корни зна-

менателя комплексные),

называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Рассмотрим сначала интегралы от простейших рациональных дробей.

Источник: https://studfile.net/preview/16563427/

Смотрите также:

Актуальні питання права інтелектуальної власності
Анализ методов осветления сыворотки при производстве сывороточных напитков
Барабанная мельница без мелющих тел
Любимый трамвай в сатирических произведениях М. Зощенко, И. Ильфа и Е. Петрова
Набор хромосом у растений
Особливості ведення операцій на рахунку 315 'Спеціальні рахунки в національній валюті'
Острые кишечные инфекции, вызванные условно-патогенной флорой
Построение псевдослучайных последовательностей
Развитие рынка образовательных услуг
Синтез систем автоматического управления (90