Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

число;

б) подстановка

t cos x , если m – положительное нечетное

число;

в)

формулы

понижения

степени

cos

2

x

1 cos 2x

,

2

sin

2

x

1 cos 2x

, sin x cos x

1

sin 2x , если m и n –

неотрица-

2

2

тельные четные числа;

г) подстановка

t tg x

, если

m n – отрицательное чет-

ное число.

Пример 1. Найти

sin

4

x cos

5

x dx .

cos x

1 sin

2

x

1 t

2

. Следовательно,

4

x cos5

5

dt

2

2

sin

x dx

t4

1 t2

t

4

1 t 2

dt

1 t

t

5

t

7

t

9

sin

5

x

2sin

7

x

sin

9

x

t

4

2t

6

t

8

dt

2

C

C.

5

7

9

5

7

9

Пример 2. Найти

sin

4

x dx . Используя формулы пониже-

ния степени, получим:

2

1 cos 2x

2

1

sin4

x dx

sin2 x

dx

dx

1 2 cos 2x cos2 2x

dx

2

4

1

x

sin 2x

1 cos 4x

dx

1

3

x sin 2x

sin 4x

C.

4

2

4

2

8

Пример

3.

Найти

dx

cos 1

x sin 3 x dx .

Здесь

cos x sin3 x

делаем подстановку x t 4

, тогда dx 4t3dt . Следовательно,

t2

t5

t2

x

3

2

dx

4t

dt

4

dt 4

t

dt

3

3

3

4 x3 1

t

1

t

1

t

1

4

3

4t

4

4

t

dt

d

t

1

3

ln t

1 C

2

3

t

1

3

3

3

3

4

3

3

x

4

ln x

4

1 C.

3

Рассмотрим теперь интеграл вида

m

r

ax b

n

ax

b s

dx . Этот интеграл сводится к ин-

R

x,

,...,

cx

d

cx

d

тегралу от рациональной функции с помощью подстановки

ax b

t

k

,

cx d

где

k

–

наименьшее

общее

кратное

знаменателей

дробей

m

,...,

r

.

n

s

Пример 2. Найти

dx

dx

.

2

2

1

3

x 2

x 2

x

x 2 3

2 2

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

2

и

1

равно

3

2

6. Поэтому

делаем

подстановку

x 2 t

6

, тогда

x t

6

2

,

5

dt ,

t

6

x

2

. Следовательно,

dx 6t

dx

6t

5

dt

t

2

dt

1

2

t

4

t

3

6

t

1

6

t

1

t 1

3

x 2

x 2

3t

2

6t 6ln t 1 C 3

3

x 2 6

6

x 2 6ln

6

x

2 1 C.

x 2sin t , тогда dx 2 cos t dt , t

arcsin

x

. Следовательно,

2

4 x

2

4 4sin

2

t

4 cos

2

t

1 sin

2

t

dx

2 cos t dt

dt

dt

x

2

4sin

2

t

4sin

2

t

sin

2

t

1

1

dt ctg t t

C ctg

arcsin

x

arcsin

x

C

2

t

2

2

sin

2

2

x

2

2

4 x

x

1 sin

t

1

4 x

arcsin

C

ctg t

2

.

x

2

sin t

x

x

2