Материал: Неопределенные интегралы. методические указания для организации самостоятельной работы по дисциплине Математика. Бондарев А.В., Ряжских А.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2. Дифференциал от неопределенного подынтегральному выражению:

d f x dx f x dx

интеграла

равен

(4)

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

dF x

F x C

(5)

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенс-

тва равны dF x ).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

a f x dx a f x dx ,

const

(6)

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций:

f x g x dx

x dx g x dx

(7)

Для доказательства найдем производные от левой и правой частей этого равенства. Они равны одному и тому же выраже-

нию

f x g x

6. Если		f

x dxf

Fax



	x C
	dx	1
		a

, то F ax C

(8)

Действительно, дифференцируя равенства (8), получим:


f ax dx	f

левую и правую части

ax ,

1		1
1		1	F ax a F ax
	F ax		F ax a F ax
a		a

Производные от правой и левой частей равны, доказать.

7. Если	f x dx F x C , то
7. Если	f x dx F x C , то

	f x b dx	F x b C .
8. Если	f x dx F x C , то
8. Если	f x dx F x C , то
	f ax b dx	1	F ax b C
	f ax b dx	a	F ax b C
		a

f ax .

что и требовалось

(9)

. (10)

Равенства (9) и (10) также доказываются дифференцирова-

нием правой и левой частей равенств.
9. Инвариантность	формулы интегрирования. Если
f x dx F x C , то и	f u du F u C , где	u x	–

произвольная функция, имеющая непрерывную производную. Таким образом, формула для неопределенно интеграла

остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

x2dx

Например, из формулы

C путем замены x на

x получаем

C . В частности,

sin

x d

sin x

C ,

ln2 x d ln x

C .

Пример 1.

	2x	3	3sin x 5		x	dx		3	dx				3sin x dx		5	x dx
								2x
								1			x	3 1
2		x3dx 3		sin x dx		5	x 2 dx		2					cos x
										3 1
													3

			1		1
		x	2		1				1										10
		x							1			4							10

5						C				x			3cos x									x	x C.
5		1				C			2	x			3cos x							3		x	x C.
		1		1					2											3
		2		1
		2
				Пример 2.
	cos			2		x dx		1 cos 2x							dx			1				dx			cos 2


												2						2
												2						2
				Пример 3.									dx		ln				x 3				C .
				Пример 3.							x				ln				x 3				C .
											x			3
				Пример 4.									cos 7x dx							1		sin 7x C .
																				7


				Пример 5.									sin 2x				6		dx					1	cos
																								2


				Пример 6.
						dx															1 2x 3					4
						dx					2x 3					5	dx				1 2x 3
		2x 3					5														2			4



				Пример 7.										dx				2						dx		2
																		2								2

													1 25x										1		5x

x dx	1		sin 2x
	2	x	2

2x 6 C .
C			1
C			8 2x 3		4
					4

	1	arcsin 5x		C .
	5	arcsin 5x		C .
	5

Задачи для самостоятельного решения

1.
1.

4.
4.

4x				6				1		dx
4x			x		4			1		dx
					4

	1
	1			4			3
						x			dx
3
3		x
		x

			2	2				1					2		2				1
2.	3x								dx	3.	3x									dx
2.	3x			x	3			7	dx	3.	3x				x	3			7	dx
				x				7							x				7
	1															1
	1			3			2				5			3		1
5.						x		dx		6.		x						dx
															4
		x													4
		x															x

7.

10.
13.

16.

19.

5x 4		5	dx
5x 4			dx
1				dx



	15 x2
cos 3x 5 dx

1 dx cos2 3x

	1			dx


	9 x2
	9 x2

8.		1	dx
	3x 7


11.	3	1	dx
	3

		7 5x
14.		x
	sin		1 dx
	sin		1 dx
		3

17. e2 3x dx

20.		1		dx
	2x	2	8


9.	4	2x		5dx
9.		2x		5dx
12.					1		dx


		3	3x			5	2
			3x			5

15.					1			dx
					x

		sin		2
		sin				1
					5
18. 32 4 x dx
21.				1			dx
		3x	2		27

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Пусть требуется найти интеграл

x dx

Сделаем

замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x t , где t	– функция, имеющая непрерывную производ-
	t dt . На основании свойства инвариантности
ную. Тогда dx	t dt . На основании свойства инвариантности

формулы интегрирования получаем формулу замены перемен-

ной в неопределенном интеграле:
	f x dx		t dt .	(11)
		f t

После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде t x , тогда


x x dx

t dt

(12)

Другими словами, формулу (11) можно применять справа налево.

Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.

Пример 1.

Найти

sin x cos x dx .

Сделаем подстановку

t sin x , тогда dt cos x dx

. Следовательно,

sin x cos x dx

t dt

sin

x C.

Пример 2. tg x dx

sin x dx

d cos x

ln cos x C

cos x

Пример 3. Найти

x dx

Сделаем подстановку t 1 x2 ,

тогда

dt 2x dx ,

x dx

dt . Следовательно,

x dx

1 dt

1 x

ln 1 x2

Пример 4.

Найти

dx .

Сделаем

подстановку

a sin t , тогда	dx a cos t dt , t arcsin	x	. Следовательно,
		a

sin

t a cos t dt a

cos

t dt

1 cos 2t

sin 2t

arcsin

sin

2 arcsin

arcsin

Источник: https://studfile.net/preview/16563427/

Смотрите также:

Актуальні питання права інтелектуальної власності
Анализ методов осветления сыворотки при производстве сывороточных напитков
Барабанная мельница без мелющих тел
Любимый трамвай в сатирических произведениях М. Зощенко, И. Ильфа и Е. Петрова
Набор хромосом у растений
Особливості ведення операцій на рахунку 315 'Спеціальні рахунки в національній валюті'
Острые кишечные инфекции, вызванные условно-патогенной флорой
Построение псевдослучайных последовательностей
Развитие рынка образовательных услуг
Синтез систем автоматического управления (90

			2	2				1					2		2				1
2.	3x								dx	3.	3x									dx
2.	3x			x	3			7	dx	3.	3x				x	3			7	dx
				x				7							x				7
	1															1
	1			3			2				5			3		1
5.						x		dx		6.		x						dx
															4
		x													4
		x															x

			2	2				1					2		2				1
2.	3x								dx	3.	3x									dx
2.	3x			x	3			7	dx	3.	3x				x	3			7	dx
				x				7							x				7
	1															1
	1			3			2				5			3		1
5.						x		dx		6.		x						dx
															4
		x													4
		x															x

			2	2				1					2		2				1
2.	3x								dx	3.	3x									dx
2.	3x			x	3			7	dx	3.	3x				x	3			7	dx
				x				7							x				7
	1															1
	1			3			2				5			3		1
5.						x		dx		6.		x						dx
															4
		x													4
		x															x