Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,

ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ

Учебное пособие

divFdV FndS

V S

Воронеж 2019

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫCШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ,

ФИЗИКИ, ТЕРМОДИНАМИКИ И ЭКОЛОГИИ

Учебное пособие

Воронеж 2019

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)

Р989

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин); канд. физ.-мат. наук, доцент И. В. Колесникова

Ряжских, В. И.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями Р989 к задачам механики, физики, термодинамики и экологии: учебное

пособие / В. И. Ряжских, А. П. Бырдин, А. А. Сидоренко; ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. – 181 с.

ISBN 978-5-7731-0779-8

В учебном пособии излагается теория дифференциальных уравнений с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения.

Издание предназначено для студентов по направлению подготовки бакалавров 21.03.01 «Нефтегазовое дело» (профиль «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки»), 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника» (профиль «Промышленная теплоэнергетика»), специальностей 24.05.07 «Самолето- и вертолетостроение», 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» очной и заочной форм обучения.

Ил. 14. Библиогр.: 12 назв.

УДК 517.9(075.8) ББК 22.161(я7)

Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

2

ВВЕДЕНИЕ

Для того чтобы сделать ум проницательным, необходимо упражнять его в исследовании вещей, уже найденных другими…

Рене Декарт (1596-1650 г.) “Правила для руководства ума”, правило X.

Дифференциальные уравнения являются важнейшим разделом курса высшей математики, преподаваемым будущим инженерам, обучаемых в технических вузах. Это положение данного раздела курса особенно усиливается чрезвычайно большой ролью, которую дифференциальные уравнения играют в математике и ее многочисленных физических и технических приложениях. В этой связи в курсе дифференциальных уравнений наряду с изучением теории и методов решения должно уделяться достаточное внимание приложениям, чтобы показать эффективность их применения. Каждая отрасль естествознания и техники, разрабатывая математические модели процессов, занимается решением своих дифференциальных уравнений, связанных с собственной проблематикой, в общем курсе дифференциальных уравнений следует заниматься не только решением готовых уравнений, но и уделять время составлению уравнений по условиям конкретных задач.

Дифференциальные уравнения, как и дифференциальное исчисление, возникли в XVII веке. Исаак Ньютон рассматривал дифференциальные уравнения в работе 1671 г. и решения уравнений получал с помощью интегрирования и разложения в ряды. В этой работе, в частности, Ньютон рассмотрел решение дифференциальных уравнений вида

Ньютон исследовал решение этого уравнения с помощью бесконечного ряда. В качестве первого члена ряда выбиралось начальное значение при x 0:

y 0 .

Подставляя его в правую часть уравнения, получим y 1, что при интегрировании дает y x .

Продолжая этот процесс, Ньютон получил приближенное решение

y x x2 x3 x4 x5 x6 .

3 6 30 45

Можно показать, что полученное приближенное решение близко к точному только при малых значениях x.

Свое изобретение дифференциальных уравнений Ньютон считал настолько важным, что зашифровал в виде ипограммы, смысл которой ученые передают так: “Законы природы выражаются дифференциальными уравнениями”.

3

Второй изобретатель дифференциального исчисления Готфрид Вильгельм Лейбниц (1636 – 1716) открыл дифференциальные уравнения около 1676 г. Центральным пунктом размышлений Лейбница являлся поиск “универсального метода”, который сводил умозаключения к вычислениям. Погружаясь в размышления, Лейбниц перемещал по столу с помощью цепочки свои карманные часы. Это привело его к задаче (1693 г.), называемой “обратная задача о касательной”: найти кривую y(x) по заданной постоянной длине касательной “a”. Это привело Лейбница к получению дифференциального уравнения первого порядка:

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Леонарда Эйлера (1707-1783) и Жозефа Луи Лагранжа (1736-1813). Решения линейного однородного и неоднородного уравнений n го порядка с постоянными коэффициентами было найдено Эйлером в 1739г. Метод вариации постоянных разработан Лагранжем в 1775 г. Однако Эйлер использовал такой метод в различных задачах, начиная с 1739 г. В работах Эйлера и Лагранжа на основе линейных дифференциальных уравнений была развита теория малых колебаний. Вслед за Ньютоном, Лагранжем и Лапласом (Пьер Симон Лаплас, 1749-1827), а позже Гауссом (Карл Фридрих Гаусс, 17491827), были развиты методы возмущений, которые применялись для вычисления возмущений планеты.

На протяжении XVIII века теория дифференциальных уравнений позволила сделать решающие сдвиги в земной и небесной механике, теории приливов, в метеорологии и в других областях науки.

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинался с работ Анри Пуанкаре (1857-1912). Созданная им “качественная теория дифференциальных уравнений” вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию совершенно новых направлений развития математики.

Значительный вклад в развитие теории дифференциальных уравнений внесли отечественные математики: А.Н. Ляпунов (1857-1918) – развитие теории устойчивости движения, А.А. Андронов (1901-1952) – теория ветвления решений, Л.С. Понтрягин – теория структурной устойчивости, Н.М. Крылов (1879-1955) и Н.Н. Боголюбов – теория усреднения.

Однако успехи физики XX века показали ограниченность механического детерменизма и недостаточность классической математики для описания явлений в микромире. Создаваемая уже в конце XIX и XX веках новая математика позволила объяснять экспериментальные результаты в физике микромира на основе новых абстрактных математических теорий, в том числе на базе современной теории дифференциальных уравнений.

4