Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П, страницы 171-175

являются характеристиками данного уравнения.

Пример. Найти общее решение неоднородного уравнения с переменными коэффициентами

y2 z xy z axz.

x y

Решение. Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для характеристик данного уравнения

dx

dy

dz

.

y2

xy

Выделим два уравнения

axz

dx

dy

,

dy

dz

.

Преобразуя, получим

y2

xy

axz

dy

dz

xdx ydy 0,

.

y

az

Проинтегрировав,

находим

интегралы

системы

(уравнения

характеристик)

1 a

z

x

2

y

2

C1,

y

z

. или

2

x

y

C1,

C2.

C2

ay

Таким образом, общий интеграл заданного уравнения имеет вид

Ф x2 y2,ayz 0.

Отсюда получим

z ya f (x2 y2),

где f - произвольная дифференцируемая функция.

Задачи для самостоятельного решения

Найти общее решение уравнений

1.

(x 2y)

z

y

z

0,

z f (xy y2).

x

y

u

x y (x y 2z)

2

2.

(x z)

(y z)

2z

0,

u f

,

.

z

x

y

z

2

z

2

z

3.

xy

x

yz,

Ф x

y

,

0.

x

y

x

z

1

y

1

z

y

1

4.

x

y

,

Ф

, z

0 или

.

x

y xy

x

x 2xy

2xy

170

7.3. Задача Коши для уравнений с частными производными первого порядка. Решение задачи Коши

Из предыдущего материала следует, что как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнения с частными производными первого порядка имеют бесконечное множество решений, поскольку в общем решении присутствует произвольная функция. Ввиду большой степени произвола в общем решении в приложениях дифференциальных уравнений по преимуществу интересуются не общими, а частными решениями, удовлетворяющими некоторым начальным данным, однозначно выделяющим решение из бесконечной совокупности.

Задачу Коши рассмотрим для случая, когда заданная дифференциальным уравнением искомая функция, зависит только от двух переменных

		z		z
F x,y,z,		z	,	z	0.
F x,y,z,			,		0.
		x
		x		y
Общим интегралом этого	уравнения является семейство функций

Ф(x,y,z) 0 (Ф - произвольная дифференцируемая функция).

Задача Коши состоит в требовании отыскания в этом семействе поверхности, которая проходит через заданную кривую, определяемую уравнениями

f1(x,y,z) 0,

f2(x,y,z) 0,

т.е. через кривую, являющуюся линией пересечения этих двух поверхностей. Это требование и является заданием начальных условий Коши. В частности, начальные условия Коши можно задать в виде требования, чтобы искомая поверхность содержала заданную плоскую кривую

x x0,

z 0(y).

Пример. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению

x

z

y

z

0

x

y

и условию x 1,

z ky (т.е. в сечении плоскостью x 1 эта поверхность дает

прямую z ky).

Решение. Составим уравнение характеристик

dx

dy

,

ln x ln y lnC,

xy C .

x

y

Общее решение

уравнения z Ф(x y). При

x 1

получаем Ф(y) ky.

Решение, удовлетворяющее начальному условию

z kxy

- гиперболический

параболоид.

171

Задачи для самостоятельного решения

Найти решения уравнений, удовлетворяющее условиям

1.

x

z

y

z

0,

z 2x при

y 1.

Ответ: z 2xy.

x

y

z

z y2

z y2e2

2 .

2.

2

y

0,

при

x 1. Ответ:

x

y

y2

z

z y2

Ответ: y2 x2 ln

3.

xy

0,

при

x 0.

y2 x2

z ln

y

.

x

y

4.

x

z

y

z

0,

x

y

x a,

y2

z2

а)

1 (т.е. поверхность проходит через эллипс).

c2

b2

a2c2y2 b2x2z2

b2c2x2

Ответ:

0.

б) x a,

y2

z

2

1 (т.е. поверхность проходит через гиперболоид).

c

b2

2

a2c2y2 b2x2z2 b2c2x2

Ответ:

0.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача № 1

Найти общее решение уравнения

1.

2xyy y2 4x2

2.

(xy x2)y y2

3.

x2 y2

2x2y 0

4.

xy y xtg

y

x

5. 2x2y 4xy y2 0

6. y2 4xy 4x2y 0

7.

x2y 2xy 3y2

8.

x2 y2

2xyy 0

9.

xy' y

10.

xy' y

x2 y2

xy

y

3x2 y2

11.

xy 2

y

12. y' e x

x

y

13.

y

14. xy

x2 y2

x

y

172

15.

y

x2 xy 5y2

16. 3y

y2

10

y

10

x2 6xy

x2

x

17.

2xy y2 (2xy x2)y 0

18.

xy y xey

x

19.

xy' y

20.

xy' y

x2 y2

xy

x 2y

21.

y

22.

xy 4

2x2 y2

y

2x y

23.

2xy y2

(2xy x2)y 0

24.

y

x y

25.y x2 xy y2

x2 2xy

Задача № 2

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному

условию y(x0) y0

1.

y

1 2x

y 1,

y(1) 1.

x2

2.

y

xy

x,

y(0) 1.

x

2 1

3

y

3.

yctgx

,

y

1.

sin x

2

4.

y 3x2y

x2(1 x3)

,

y(0) 0.

xy y xy2,

3

5.

y(0) 1.

6.

y y xy2,

y(1) 2.

7.

y

sin x,

y( )

1

.

x

8.

xy y 2y2 ln x,

y(1)

1

.

x2y 2xy 3,

2

9.

y(1) 0.

10. y 2xy 2x3y3,

y(0)

.

2

173

11.	y yctg x 2xsin x,
12.	y	y	x2 2x,

		x 2

13.y y sin x, x

14.y ycosx sin2x,

15.	y		y		2
		x		x3 ,

16.	y 4xy ex(4x 1),
17.	y 4xy 4x3,

18. y x 1y 2 , x2 x

19.y y ln x ,

xx

20.

xy

2y

3x,

x 1

21.

y

2y

(x 1)3,

x 1

22.

y

2

x

x2 ,

23.

y

2

y x3,

x

24.

y

xy

x

,

2(1 x2)

2

25.

y xy x3,

y 0.2

y( 1) 3. 2

y( ) 1 .

y(0) 3. y(1) 1.

y(0) 1.

y(0) 1. 2

y(1) 3.

y(1) 1.

y(1) 0.

y(0) 1 . 2

y(1) 1.

y(1) 5 . 6

y(0) 2. 3

y(0) 3.

Задача № 3

Найти общее решение дифференциального уравнения

1.	xy	(1 2x	2	)y	2.	yy				2	0
							(y )
3.	yy				4.	y		y
									0
		y (1 y )

x

174

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями к задачам механики, физики, термодинамики и экологии. Ряжских В.И., Бырдин А.П

Смотрите также: