Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной: u = py .

p= 4yln C1 y;

Сучетом того, что p = dydx , получаем:

Таким образом, получили два общих решения.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка

называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных y′, y′′,..., y(n) вида:

p0 y(n) + p1 y(n−1) + p2 y(n−2) +... + pn−1 y′+ pn y = f (x);

где p0, p1, …,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

p0 y(n) + p1 y(n−1) + p2 y(n−2) +... + pn−1 y′+ pn y = L(y);

Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным

однородным уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные

уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальноеуравнение,точастоприменяютсяприближенныеметоды,позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида p0 y(n) + p1 y(n−1) + p2 y(n−2) +... + pn−1 y′+ pn y = 0

Определение. Выражение p0 y(n) + p1 y(n−1) + p2 y(n−2) +... + pn−1 y′+ pn y = L(y)

называется линейным дифференциальным оператором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами:

1)L(Cy) = CL(y);

2)L(y1 + y2 ) = L(y1 ) + L(y2 );

Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:

1)Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.

2)Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.

Структура общего решения.

Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение. Если из функций yi составить определитель n – го порядка

то этот определитель называется определителем Вронского.

( Юзеф Вроньский (1776 – 1853) – польский математик и философ - мистик)

Теорема. Если функции y1 , y2 ,..., yn линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема. Если функции y1 , y2 ,..., yn линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема. Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения y1 , y2 ,..., yn была фундаментальной необходимо и

достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема. Если y1 , y2 ,..., yn - фундаментальная система решений на интервале (a,

b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ,

где Ci –постоянные коэффициенты.

Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.

Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.

Тем не менее, если известно одно ненулевое частное решение, то задача может быть решена.

Такимобразом,дляполученияобщегорешениянадоподобратькакое– либочастное решение дифференциального уравнения, хотя это бывает часто довольно сложно.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Решение дифференциального уравнения вида y(n) + a1 y(n−1) +... + an y = 0 или, короче, L(y) = 0 будем искать в виде y = ekx , где k = const.

При этом многочлен F (k) = kn + a1kn−1 +... + an называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.

Для того, чтобы функция y = ekx являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

L(ekx ) = 0; т.е. ekx F (k) = 0.

Т.к. ekx ≠ 0, то F (k) = 0 - это уравнение называется характеристическим уравнением.

Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение kn + a1kn−1 +... + an = 0 имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

Взависимостиоткоэффициентовk характеристическоеуравнениеможетиметьлибо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1)Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2)Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

a)каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: eαx cosβx и eαx sin βx.

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней α ±iβ характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить уравнение (1− x2 )y′′− 2xy′+ 2y = 0.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

Пример. Решить уравнение y′′′−7 y′′+ 6y′ = 0.