Документ: Обыкновенные дифференциальные уравнения, страницы 36-40

Характеристическое уравнение: k3 −7k2

+ 6k = 0;

k(k2

−7k + 6) = 0;

k1 = 0; k2 =1; k3= 6;

Общее решение:

y = C

+C

2

ex +C

e6x ;

1

3

Пример. Решить уравнение y

− y

− 2y = 0.

′′

′

Характеристическое уравнение: k2

− k − 2 = 0;

k

= −1;

k

2

= 2;

1

Общее решение:

y = C e−x +C

e2x .

1

2

Пример. Решить уравнение yV −9y′′′ = 0.

Характеристическое уравнение: k5

−9k3

= 0;

k3 (k2 −9) = 0;

k1 = k2 = k3 = 0;

k4 = 3;

k5 = −3;

Общее решение:

y = C +C

2

x +C

3

x2 +C

e3x +C

5

e−3x ;

1

4

Пример. Решить уравнение yy′′− y′2 = 0.

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему не применим.

Понизим порядок уравнения с помощью подстановки y′ = p.

Тогда y′′ = dpdy y′ = dpdy p.

y dp p − p2 = 0; p = 0; y = C ;

dy

1

ydp

= p;

dp

= dy ;

∫dp =

∫dy ;

ln

p

= ln

y

+ ln C;

dy

p

y

p

y

p = Cy;

y′ = Cy;

dy

= dx;

∫ dy

= ∫dx;

1

Сy

ln

Cy

= x + ln C2 ;

Cy = eCxeC ln C2 = C3eCx ;

C

Окончательно получаем: y = C1eCx ;

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

Пример. Решить уравнение 3yy′′+ y′2 = 0.

Производим замену переменной: y′ = p;

y′′

dp

= dy y′ = p dy ;

3yp dp + p2 = 0;

p =

0;

y = C;

dy

1

3y dp = −p;

dp

= − dy ;

∫dp

= −1

∫dy;

dy

p

3y

p

3

y

= −1 ln

C

1

ln

p

y

+ ln C;

p3 =

;

y′ = C1 y−3 ;

1

3

1

y

4

y3 dy = C1dx;

∫y3 dy = C1 ∫dx;

3 y3 = C1 x +C2 ;

4

y3

= C3 x +C4 ;

Общее решение:

3

y = (C3 x +C4 ) 4 .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида y(n) + p1 (x)y(n−1) +... + pn (x)y = f (x).

С учетом обозначения y(n) + p1 (x)y(n−1) +... + pn (x)y = L(x) можно записать:

L(x) = f (x).

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y(n) + p1 (x)y(n−1) +... + pn (x)y = f (x) в некоторой области есть сумма любого его решения

и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения. Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

L(Y) ≡ f (x).

Пусть y1 , y2 ,..., yn - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения L(y) = 0 . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ; Ci = const.

Далее покажем, что сумма Y +C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn является общим решением

неоднородного уравнения.

L(Y +C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn ) = L(Y) + L(C1 y1 ) + L(C2 y2 ) +... + L(Cn yn ) = L(Y) = f (x)

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение

соответствующего однородного уравнения и какимто образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных. Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

n

y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn = ∑Ci yi ;

i=1

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

n

y = ∑Ci (x)yi ;

i=1

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

∑Ci′(x)yi = 0
	n
i=1
	n	i	i
	∑	i	i
		C′(x)y′ = 0
i=1
..........................

	n			f	(x)
∑Ci′(x)yi(n−1) =				f	(x)
i=1
Пример. Решить уравнение y′′+ y = x −sin 2x.
Решаем линейное однородное уравнение y′′+ y = 0.
k2 +1 = 0; k = i; k					2	= −i.
			1		2
y = eαx (Acosβx + Bsin βx);					α = 0; β =1;

y = Acos x + Bsin x;

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

y = A(x)cos x + B(x)sin x;

Составляем систему уравнений:

A′(x)cos x + B′(x)sin x = 0

− A′(x)sin x + B′(x)cos x = x −sin 2x

Решим эту систему:

	′	′	cos x
B (x) = −A(x)			sin x
			sin x
		′	′	cos2 x
		′	′	cos2 x
− A (x)sin x − A(x)				sin x	= x −sin 2x
				sin x

− A′(x)

sin x

B′(x) =

= x −sin 2x cos x(x −sin 2x)

Из соотношения		′	2	xcos x − xsin x найдем функцию А(х).
Из соотношения		A(x) = 2sin		xcos x − xsin x найдем функцию А(х).
A(x) = ∫(2sin 2 xcos x − xsin x)dx = 2∫sin 2 xcos xdx − ∫xsin xdx						= 2 sin3	x − ∫xsin xdx =
u = x;	dv = sin xdx;					3
u = x;	dv = sin xdx;		=	2 sin3 x + xcos x − ∫cos xdx =	2 sin3	x + xcos x −sin x +C1.
=			=	2 sin3 x + xcos x − ∫cos xdx =	2 sin3	x + xcos x −sin x +C1.
du = dx;		v = −cos x		3	3

Теперь находим В(х).

B(x) = ∫xcos xdx − 2∫cos2	u = x;	dv = cos xdx;		= xsin x − ∫sin xdx +	2 cos3	x =
	xsin xdx =		v = sin x;
	du = dx;				3

= 23 cos3 x + xsin x + cos x +C2 .

Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения:

y =	2 sin3 xcos x + xcos2 x −sin xcos x +C		cos x +	2 sin xcos3 x + xsin 2 x +sin xcos x +C					2	sin x =
	3	1		3					2
	3			3
= 2 sin xcos x(sin2 x + cos2 x) + x(sin2 x + cos2 x) +C					cos x +C		2	sin x.
3				1			2
3		1 sin 2x + x +C cos x +C
Окончательный ответ: y =		1 sin 2x + x +C cos x +C			2	sin x;
		3	1		2

Таким образом, удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора.

Вообще говоря, метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей, этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

f (x) = P(x)eαx ,

где P(x) = A0 xm + A1 xm−1 +... + Am - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде:

y = xr eαxQ(x)

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами,

а r – число, показывающее сколько раз число α является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение y′′′− 4y′ = x .

Решим соответствующее однородное уравнение: y′′′− 4y′ = 0.

k3 − 4k = 0;	k(k2 − 4) = 0;	k = 0;	k	2	= 2;	k = −2;
		1		2		3

y = C1 +C2e2x +C3e−2x ;

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше.

P(x) = x; α = 0.

Частное решение ищем в виде: y = xr eαxQ(x) , где r =1; α = 0; Q(x) = Ax + B.

Т.е. y = Ax2 + Bx.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

y′ = 2Ax + B; y′′ = 2A; y′′′	= 0;
0 −8Ax − 4B = x; −8A=1; A= −	1	; B = 0;
	8

Итого, частное решение: y = − x2 . 8

Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

y = − x2 +C1 +C2e2x +C3e−2x . 8

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

f (x) = eαx [P1 (x)cosβx + P2 (x)sin βx]

Здесь Р1(х) и Р2(х) – многочлены степени m1 и m2 соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

y = xr eαx [Q1 (x)cosβx +Q2 (x)sin βx]

где число r показывает сколько раз число α +iβ является корнем характеристического

уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q1(x) и Q2(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m1 и m2.

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Т.е. если уравнение имеет вид: L(y) = f1 (x) + f2 (x) , то частное решение этого уравнения будет y = y1 + y2 , где у1 и у2 – частные решения вспомогательных уравнений

L(y) = f1 (x) и L(y) = f2 (x)

Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом.

Пример. Решить уравнение y′′+ y = x −sin 2x.

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (-sinx).

Составим и решим характеристическое уравнение: k2 +1 = 0;	k = ± i;
	1,2

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде y1 = xr eαxQ(x) . Получаем: α = 0, r = 0, Q(x) = Ax + B; Т.е. y1 = Ax + B;

Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Смотрите также: