Материал: Обыкновенные дифференциальные уравнения

u′x +u + eu −u = 0

u′x + eu = 0 dudx x = −eu

−e−u du = dxx

−∫e−u du = ∫dxx ;

Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка.

b

A S

x

Как уже говорилось выше (см. Интегральные кривые. ), линия S, которая задается функцией, являющейся какимлибо решением дифференциального уравнения, называется интегральной кривой уравнения y′ = f (x, y).

Производная y’ является угловым коэффициентом касательной к интегральной

кривой.

В любой точке А(х, у) интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения.

Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения, то при условии непрерывности функции f(x, y) и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых, которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения, т.е. представляют собой его общее решение.

Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений.

С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения:

1)Задать дифференциальное уравнение первого порядка – это значит задать поле направлений.

2)Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение – это значит найти всевозможные кривые, у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются

изоклинами.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Определение. Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение

вида:

F (x, y, y′,..., y(n) ) = 0

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n): y(n) = f (x, y, y′,..., y(n−1) ).

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.

удовлетворяющего начальным условиям x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) , называется решением задачи

Коши.

Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши).

Еслифункция(n-1) –йпеременныхвида f (x, y, y′,..., y(n−1) ) внекоторойобластиD (n- 1)- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по y, y′,..., y(n−1) , то какова бы не была точка (x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) ) в этой области, существует

единственное решение y = ϕ(x) уравнения y(n) = f (x, y, y′,..., y(n−1) ) , определенного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее начальным условиям

x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) .

Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых может быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных типов.

Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

Уравнения вида y(n) = f(x).

Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

y(n−1) = ∫ f (x)dx +C1;

y(n−2) = ∫(∫ f (x)dx +C1 )dx +C2 = ∫dx∫ f (x)dx +C1 x +C2 ;

…………………………………………………………….

y = ∫ 14 e2x +C1 x +C2 = 18 e2x + 12 C1 x2 +C2 x +C3 ;

Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши): y = 18 e2x − 14 x2 − 54 x + 78 .

Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения.

10

7.5

5

2.5

-2.5

-5

-7.5

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k – 1 включительно.

Это уравнения вида: F (x, y(k) , y(k+1) ,..., y(n) ) = 0.

В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для этого производят замену переменной:

Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:

z = ψ(x,C1 ,C2 ,...,Cn−k ).

Делая обратную подстановку, имеем:

y(k) = ψ(x,C1 ,C2 ,...,Cn−k )

Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем окончательный ответ:

y = ϕ(x,C1 ,C2 ,...,Cn ).

y = ∫ C21 x2 +C2 dx = C61 x3 +C2 x +C3 ;

Общее решение исходного дифференциального уравнения: y = Cx3 +C2 x +C3 ;

Отметим, что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =0.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Это уравнения вида F (y, y′,..., y(n) ) = 0.

Порядоктаких уравненийможетбытьпониженнаединицуспомощьюзаменыпеременных

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

его решений, то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка:

Ф(y, y′,C1 ,C2 ,...,Cn−1 ) = 0.

Пример. Найти общее решение уравнения yy′′−(y′)2 − 4yy′ = 0.