Документ: Оптимизация процессов грузовой работы., страницы 296-300

										ГЛАВА I
а уравнение,		связываю щ ее			функцию сор (/) с a(t) и Т&(т), запиш ется
как				і~ТаСО
				і~ТаСО
	cöp(0 =		ß ( 0 +		\	<op(r)a(t — x — T B(T))dx.				(1.28)
					и
3.	Наконец,		если	время		восстановления		не	зависит	от времени
отказа, но зависит от вида					отказа,		т. е. R (т, Ѳ )	=	R (0), то	уравне
ние ( 1 .2 1 ) приобретает вид
				t		І ~ Х
	(Op (t) =		a (t) +	j	(Op (T )	j	a(t — г — 0) r (0) dQ dr.			(1.29)
				0		о
Сравнивая уравнение (1.29) с уравнением (1.15), обнаруживаем
полную	их	аналогию.		Следовательно, средняя					частота	отказов

с учетом восстановления с точки зрения процесса восстановления является интенсивностью общего процесса восстановления с конеч

ным временем восстановления.
При	мгновенном восстановлении R (т, 0) = 1		и средняя	частота
отказов	с учетом восстановления становится тождественно равной
средней	частоте отказов	со (і).
Выведем выражение,		связы ваю щ ее функцию	готовности	с дру
гими характеристиками		надежности.

Из N систем, первоначально поставленных на испытание, до интересующего нас момента времени t безотказно проработает Р {t) N

систем. В промежутке (т, т			+	Дт), т <	t, откаж ет <мр (т) N Дт систем,
из	которых в промежутке		(£, £ + Д£),		т •< £ < t,	будет отремонти
ровано		(ор (т) N Дт [У? (т, £ +	Д £) — R (т, I)]. Из этого			числа к моменту
t +	A f	ни разу не выйдет из строя
		юр(т)УѴ Дт[/?(т,		І + Д £ ) - / ? ( т , \| ) ] Я ( / - \| )			(1.30)
систем. Общее число исправно работающих на промежутке (t, і							At)
систем		равно

АГР(0 +	S	(т) А/ Дт S [R(*,				I + ДЮ - R(Т, öl P ( t - g).	(1.31)
	о			о
Обозначим	£ — т =		0.	Разделив		(1.31) на N и перейдя к	пределу
при N —>оо,		Дт —> 0,		получим выражение для функции готовности:
				1	і— т
r ( 0		= / J (0	+ ffl> p (T )		J	P{t — т — 0 )< У ?(т, B)dx.	(1.32)

оо

Итак, зная законы распределения времени безотказной работы

системы и времени			ее восстановления,	а такж е среднюю частоту
отказов с учетом восстановления, можно				определить значение функ
ции	готовности	в	произвольный момент времени. Расчет функ
ции	Г ( t) по формуле (1.32) чаще всего производится приближен
ными методами,		так	как аналитическое	решение для большинства

25

(1.37)

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

законов распределения времени безотказной работы и времени вос становления затруднено.

Рассмотрим частные случаи функции готовности.

1. Если время восстановления постоянно и не зависит от момента отказа системы, то выражение для функции готовности имеет вид

‘- т*

Г (9

= / > ( * )+

и

wp( x ) P ( t - x ~ T B)dx.

(1.33)

2.

Если

время

восстановления не зависит от вида отказа,

а я в

J

Т в — Тв (т),

ляется функцией времени

отказа

то выражение

(1.32)

приобретает

вид

І- Т в (т>

Г ( t ) = P ( t ) +

о

cop( x ) P ( t - x - T B(x))dx.

(1.34)

3.

Если,

наконец, время Jвосстановления

является

лишь

функ

цией

вида

отказа,

т. е.

R (т,

0)

= R (0), то

функция

готовности

будет

выглядеть так:

i

t - x

T(t) = P{l) +

С0р(х)

P(t — т — Q)r{Q)dQdx.

(1.35)

0

и

Д ля того чтобы

получить

выражение для

функции

готовности

J

на промежутке Г ( t, s), будем, как и ранее, предполагать, что на испы тании находятся N систем, причем отказавш ие системы восстанавли ваю тся и снова возвращ аю тся в строй. Задача состоит в подсчете числа систем, которые безотказно проработают в течение отрезка

времени (0 , t + s).
Количество	систем,	ни	разу	не отказавш их		во всем		промежутке
испытания (0 ,	t + s),	равно
		P ( t +		s)N.				(1.36)
В промежутке (т, т +		Ат),	т <	t, откаж ет	сор (т) N		Ат	систем. Из
них в промежутке (£,		\ +	Д£),	т < \ <С t,	будет		восстановлено
	®Р (т) N Ат [Я (т,			£ + А £ ) — R{x,		£)]

систем. В случае технического обслуж ивания в порту можно пред положить, что ремонт полностью восстанавливает ресурс надеж ности системы. И з числа восстановленных на промежутке (£, | + Д£) систем до момента времени t + s безотказно проработает

% (x)NAx[R(x, l + A l ) - R ( x , Z ) ] P ( t ± s - &

систем.

Д ля получения общего числа п ( t, s) безотказно работающих на отрезке (i, t -j- s) систем необходимо просуммировать (1.37) по

26

ГЛАВА 1

всем промежуткам Ат на отрезке (0, t + s) и Д| на отрезке (0, t + + s — т) и к сумме прибавить (1.36):

	1	І —х
п (t, ~s) — P(t -I- s) А/ -I-		S ®		(T ) N Ат [# (т, I + A\|) —
	0		0
- R ( f ,		g)]-P(* +			s - £ ) .		(1.38)
Обозначим I — T = Ѳ . Деление			(1.38)		на N и	переход к пределу
при N ---> оо, Ат —>О,	Д£ —>0	дает		выражение		для функции	готов
ности на промежутке:
lim -'-■тГі )-- =		Г	(t,	s ) = P ( t + s)-[-
JV -> CD	ІѴ
i	t —x
-)- J cop (T )	J P ( ^ +		S —	T —	Q ) d QR ( % ,	Q ) d t .	(1.39)

о0

Вчастном случае, когда время восстановления постоянно и

равно Тв,	выражение		(1.39)	приобретает вид
Г (t, s) = P ( t			s) -[-	г- г в	% (%)P(t + s - x ~ T B)dx.	(1.40)

				о
Если	время	восстановления, явл яясь случайной величиной
				J

не зависит от момента отказа системы, то функция готовности на промежутке равна

t	І — Х
T(t, s) = P (t -\|- s) 4- J wp (T )	j Ptf-j-s — T — Ѳ )г(Ѳ )сЮ<2 т. ( 1 .4 1 )
о	0

Очевидно, что функция готовности является частным случаем

функции готовности на промежутке при	s = 0 .
Приведенные формулы для функций	Г (t) и Г ( t, s) являю тся

принципиально весьма общими, так как не накладываю т ограниче ний на структуру системы и вид законов распределения времени безотказной работы и времени восстановления. Однако данные фор мулы выводились в предположении, что система начинает восста навливаться после полного отказа ее. Применительно к резервиро ванным системам это означает, что восстановление не производится, пока не откаж ет вся система. Такой режим характерен, например, для элементов судовых систем управления, восстановление которых в силу ограниченных возможностей ремонта на судне осущ ествляется лишь в стационарных условиях баз и портов. Если ж е система начинает восстанавливаться до наступления полного отказа, то для оценки ее готовности целесообразно использовать машинные методы моделирования, рассмотренные в гл . V ,

27

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Ф изическая модель, на базе которой получены формулы (1 .32), (1.35), (1.39), (1.40), (1.41), представляет собой частный случай процесса восстановления с конечным временем восстановления, и потому для анализа этих формул применима теория данного про цесса.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА	§ 1.4
ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Выражение (1.32) описывает готовность системы при произвольном режиме ее работы, который в общем случае может быть как неуста новившимся (например, в период приработки или старения системы), так и установивш имся. Установивш емуся режиму, характерному для большей части времени функционирования систем, соответствует предельное значение функции готовности. Рассмотрим предельное значение средней частоты отказов с учетом восстановления (1.29) и функций готовности (1.35) и (1.41) при произвольных законах распределения времени безотказной работы и восстановления. При этом будем предполагать, что характер распределения длительности

восстановления системы не	зависит от момента ее отказа,	т. е.
R (т,	Ѳ ) = R (Ѳ ).	(1.42)

Такое предположение в известной мере идеализирует процесс экс_ плуатации аппаратуры, но в то ж е время для многих случаев яв ляется вполне естественным, например при работе системы в режиме деж урства.

Д ля получения асимптотического значения средней частоты отка зов с учетом ремонта воспользуемся свойством предельного соотно

шения между	произвольной			функцией / ( t)	и ее изображением по
Л апласу F (р),	состоящим		в	том, что
		lim	f{t) — UmpF (p).		(1.43)
Уравнение	для	средней		частоты отказов с учетом ремонта
со? (t) =		а (t) + j	Юр (T) J а (t — т — Ѳ ) г (Ѳ ) dBdx

оо

воператорной форме примет вид

Qp (Р) = Л (р) + Qp (р) Л (р) # (р),

откуда получаем

с о
j е	p i a(t)dt
о		■ (1.44)
с о	0 3	■ (1.44)
о	о

28

Материал: Оптимизация процессов грузовой работы.

Смотрите также: