Документ: Оптимизация процессов грузовой работы., страницы 291-295

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ				ГЛАВА 1
				ГЛАВА 1
Характеристики	надежности при	различных законах	распределения случайных вели	Т а б л и ц а 1.3
Характеристики	надежности при	различных законах	распределения случайных вели	чин
Тип			Характеристики надежности
Тип
распре
деления	Р (О	о (О	к U)

Экспо	-kt	Xc-W
ненциаль	-kt	Xc-W
ное

		U - 7 1 ) г	2‘		U- Г і)-
		— с 'М*	2‘	—	•2а2
Нормаль	г	— с 'М*	V' л		•2а2
Нормаль	г	л	V' л
ное
1 + Ф ш	ст	I + Ф (sw)\|

	А-1			Х„ (Х„() ft-1
Гамма-	е	а„пі	Хо (XQOft-1 е Х0(	ft-1
Гамма-	е	а„пі	Хо (XQOft-1 е Х0(	, ^	(Х„0‘
распределение	і—0		(ft-1)1	( f t - 1 )
	і—0			(= 0
	(ft > 1,	целое)		(= 0

Релея		12	і г
Релея	<?	2ст2	Л - г 2ст2
		2ст2	Л - г 2ст2
			(Т2

18	2*	19
		19

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Характеристики надежности

Тип
распре
деления	Р	(0			а	U)		X (0
		со					1	(lg Г - Г , ) 2
		Jf х1				(lg/ —Г ,)2	1	2а2
Логарнфми-	а Ѵ2я~		X			(lg/ —Г ,)2	Т	с
Логарнфми-	а Ѵ2я~		X	1	я	2(т*	а>	(IgT — Т .. )2
ческн-нор*				1	я	2(т*	а>	(IgT — Т .. )2
мальное	<lg t	- Г ,)»		а/ V -я			К	' “ •	«
	X с	2а2	<1X				К	' “ •	«
	X с						t

Вейбулла

с— \ „ і к

Аоfit

6

К Ы к ~ х

			ГЛАВА 1
			Продолжение табл. 1.3
	Графическое	представление	Параметры
	характеристик надежности		распределения
	Тср
			Т 2 — среднее
			значение лога
е	Г3 + +-1		рифма времени
е	Г3 + +-1		работы
			безотказной
			о3 — дисперсия
			времени без
			отказной работы
	О	t

k — параметр,

характеризую щий остроту и асимметрию распределения А0 — масштаб ный параметр

цессов отказов и восстановлений аппаратуры. Однако в нестационар

Кроме того, весьма полезным результатом является

узловая теорема

ном случае работы аппаратуры с помощью математического аппарата

восстановления, согласно

которой при

невозрастающей и интегри

процесса восстановления трудно получить удобные для

инженерной

руемой на промежутке (0,

оо) функции

Q (t)

практики расчетные соотношения. Это связано прежде всего со сл ож

ностью вычисления /і-кратной

свертки функций Gn (t)

[см.

(1 .8 )]

t

с о

и решения интегральных уравнений (1.14), (1.15). Получить расчет

lim

f Q{t — т)с?Я ( т ) = - = і -

f Q(x)dx.

(1.17)

ные формулы в конечном виде можно лишь для отдельных законов

'->“ o

Уср

о

распределения времени безотказной работы и восстановления си

У казанны е

асимптотические

свойства

процесса

восстановления

стемы.

Более важным для практического приложения являю тся асимпто

использую тся,

в частности, для

получения установивш егося значе

тические свойства процесса

восстановления. В частности,

установ

}■

ния показателей готовности системы.

лено [2 4 ],

что независимо от вида

распределения G ( t) для

больших

Получение характеристик надежности определенного класса си

интервалов

времени среднее

число

отказов, приходящ ееся

на

еди

стем обычно основано на обработке статистических данных об отка

ницу времени, стремится к величине, обратной среднему времени

зах и восстановлениях этих систем. При помощи приведенных выше

безотказной работы:

статистических формул можно вычислить любую характеристику.

lim

HG)

1

(1.16)

Однако на практике по экспериментальным данным находят одну

из характеристик

безотказности

и восстанавливаемости — обычно

Tc p

t->ОО

t

а (t) и г (t), а

остальные

при необходимости получают расчетным

20

21

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

путем. Так как время безотказной работы системы и время ее вос становления являю тся в общем случае случайными величинами, то нужные характеристики аппроксимируют одним из известных зако нов распределения случайных величин. Т акая замена обеспечивает значительные удобства при расчете надежности, так как позволяет построить строгую математическую схем у расчета.

При рассмотрении судовых систем управления в силу нестационарности режимов их работы возникает необходимость использовать в качестве исходных моделей различные законы распределения сл у чайных величин. Наиболее часто встречающ иеся распределения ука заны в табл. 1.3.

СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ	§ 1.3
С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ НАДЕЖНОСТИ

К ак отмечалось выше, критерии надежности восстанавливаемы х систем являю тся функциями безотказности и восстанавливаемости, и, следовательно, могут быть выражены через представленные выше законы распределения времени безотказной работы и времени вос становления. Выведем уравнение, связы ваю щ ее среднюю частоту отказов с учетом восстановления с другими характеристиками

надежности [3 0 ].	t =
П усть в первоначальный момент времени	t =	0 на испытании
находится N однотипных систем, которые по	мере	отказа ремонти

руются	и возвращ аю тся в	строй.	П осле повторного	отказа система
снова	поступает в ремонт	и т. д.	Подсчитаем при	этих условиях

среднее число отказавш их систем п	(t) в промежутке времени ( t, t +
+ А/). Естественно предположить,	что п ( t) склады вается из числа

систем, впервые отказавш их за все время испытания, и числа систем,

которые ранее подвергались ремонту. Число впервые		отказавш их
систем равно
a ( t ) N A t .		(1.18)
Д ля определения количества отказавш их систем,	относящ ихся ко
второй группе, поступим следующим образом.
Рассмотрим некоторый промежуток времени (т,	т +	Ат), пред

шествующий промежутку (t, t + At), т. е. т < t, и определим число

отказавш их на этом	промежутке	систем,	ранее	подвергавш ихся
ремонту. Согласно (1.5)	число таких	систем	будет	равно сор (т) ІѴ Ат.

В соответствии с принятыми условиями испытания эти системы по

ступаю т в ремонт. Д алее,		пусть (£, £ + А\|) — промежуток	времени
такой, что т < g <	t. Т ак	как вероятность восстановления	системы
в промежутке (\|, g +	А£) равна приращению значения функции рас
пределения времени	восстановления R (т, g + А\|) — R (т, \|), то

число отремонтированных на этом отрезке времени систем из тех,

которые отказали в промежутке (т, т -f- Ат),	равно
сор(т)Л ГА т[Я(т, Н - Д \| ) - Я ( т ,	g)].

22

ГЛАВА 1

Если ремонт полностью восстанавливает ресурс надежности системы,

то	из	этого числа в промежутке (I, t +		At) откаж ет
		сор(т )У А т [Я (т ,	g + A g ) - t f ( T - g ) ] a ( f — g)A f		(1.19)
систем. Д ля определения			общего числа	отказавш их в промежутке
(t,	t +	At) систем п (t) необходимо просуммировать выражение (1.19)

по всем промежуткам Ат, предшествующим /, и всем А| на интер

вале (т, і) или,

что одно

н то

ж е, на

интервале (0 ,

t — т),

прибавив

к сумме

число

впервые

отказавш их

систем

(1.18).

Таким

образом,

п (t) = а (t) N At +

2

' s ®р (т) [R (т,

g + Ag) -

и

о

— R( т, l) ]a( t— l ) N Ах At.

(1.20)

Обозначим

g — т =

0. Разделив

(1.20) на NAt и перейдя к пре

делу при

N —>оо и AI - >0,

будем

иметь

I

t —T

lim

=

(Op (t) =

a (i) +

J

<op (t)

f a (t — x — 0 ) deR (T ,

0 ) dx.

( 1. 21)

Полученное интегральное уравнение относительно функции сор ( t)

является

уравнением Вольтерра второго рода со сложным разност-

*т т

ным ядром J

a (t — т —

0 ) d$R (т,

0 ). Уравнение

( 1 .2 1 ) позволяет

о

найти среднюю частоту отказов с учетом восстановления по извест ным законам распределения времени отказов и времени восстановле ния системы.

Согласно теореме сущ ествования и единственности уравне ние ( 1 .2 1 ) имеет единственное ограниченное решение на промежутке

(0 , t), если найдется	постоянная с >■ 0 такая,	что
	\|a(^)\|sSc	( 1 .2 2 )
и	X
І	X
J	J а(т —Q)R' (0) dQ dx <( ОО.	(1.23)

оо

Для законов распределения непрерывной случайной величины, имеющей смысл длительности безотказной работы технической си

стемы, условия (1.22) и (1.23) выполняю тся, за исключением част ных случаев гамма-распределения и распределения Вейбулла, когда а (0) = оо, о чем речь будет идти ниже. Одиако аналитическое решение уравнения ( 1 .2 1 ) в удобном для практических расчетов виде получить, исключая некоторые частные случаи, либо чрезвычайно трудно, либо вообще невозможно. Чащ е всего для этой цели исполь зую тся приближенные методы.

23

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ГОТОВНОСТИ

Ф ункция сор ( t) может быть построена путем обработки стати стических данных, собранных в процессе эксплуатации системы [30]. Тогда из уравнения (1.21), рассматривая его как интегральное урав

нение относительно				функции		а (t),	можно	определить плотность
вероятности		отказов.
Среднюю		частоту		отказов с		учетом восстановления			легко	выра
зить	через	вероятность			безотказной		работы, заменив		в вы раж е
нии	(1.21) а (4		на — Р'		(/):
					t	І —Т
	Cöp (t) = -		P' {t) -		} сор (т) J P ' (t - х -			Ѳ ) deR (т,	0 ) dx.	(1.24)
					о	о

Следовательно, зная сор (т), можно получить функцию Р (t). Рассмотрим частные случаи уравнения (1.21), вытекающие из

различных стратегий технического обслуживания системы.

1 . Предположим, что время восстановления Тв постоянно, т. е.


				1 ,	если
				R(x, Ѳ ) =	если Тв >■ 0.
				О,	если Тв >■ 0.
Это означает,		что все сор (т) N Ат,			систем,		отказавш их на	отрезке
времени	(т, т +		Ат),	будут восстановлены			к моменту t —	Та, если
%<С t —	Тв.	Из	них	в промежутке		(t, / +	А/) откаж ет
			Op (х) NAxa (t — т —			Тв) А (		(1.25)

систем. Общее число отказавш их в промежутке (t, t + At) систем получим, суммируя (1.25) по Ат на интервале (0, і — Тв) и при бавляя к сумме (1.18), т. е.

	п (t) = а it) N At -j-					2	(o		(x)NAxa(t — т — TB)At.		(1.26)
						о
П осле	деления	выражения				(1.26)			на	N At и предельного	перехода
при W -> со и At -			>0		будем		иметь уравнение для сор (і):
						' - г в
	< °Р	( 0	=	а (0 +		о		®p{T)a{t — i; — TB)dx.			(1.27)
						о
2.	П усть	время			восстановления не зависит от вида отказа, но
2.	П усть	время				J				Тв(х). Ф ункция распределения
зависит от времени отказа, т. е. Тв =										Тв(х). Ф ункция распределения
времени восстановления в						этом случае имеет вид
						j	1 ,		если	Т в(т ) ^ 0 ;
						10,			если	Тв(т) > 0,

24

Материал: Оптимизация процессов грузовой работы.

Смотрите также: