Материал: Оптимизация процессов грузовой работы.

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Граф состоянии такой системы представлен на рис. 2.3. Требуется определить выра­ жение для функции готовности (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готов­ ности.

В нашем случае Аі = ЗА, Аз = 2А, А3 = А, = ц Тогда по изложенной мето­ дике коэффициенты А,- и В будут равны:

Ао 11

A i Аі (Аз -]- A3 -(- (.La -|- (i3) -f- Аз (A3 -|- (i3) -|- A3(ii -(- (ii (j-ta -f- p3) T

6 А3

kn (Р) = р [р3 + (6 А + Зр) р2 + (11 А2 -р 9Ар Д- Зр2) р + 6 А3 + 6 А2р Д- ’

+ЗАр2 + р 3]

атребуемое значение функции готовности в изображениях по Лапласу примет вид

_ 6 А2р - р ЗАр2 Д- р3

г6 А3 Д -6 А2 рД-ЗАр2 + А3 ’

Граф состояний резервированной восстанавливаемой системы может иметь более сложный вид, чем изображенный на рис. 2 .2 . Сложные ветвящ иеся графы получаю тся в случае раздельного резер­ вирования, учета двух характеров отказов, отсутствия контроля моментов отказов отдельных устройств резервированной системы, резервирования неравнонадежных устройств, наличия избыточности других типов (функциональной, временной и т. п.). В этих случаях может быть несколько состояний отказа. Тогда вероятность того, что резервированная система неисправна в любой момент времени t, вы числяется из соотношения

М * ) = Е Л ( 0 ,

І = 1

56

ГЛАВА 2

где Р( (I) — вероятность того, что система в момент времени t нахо­ дится в г-м состоянии отказа. Очевидно, что изображение по Л апласу для Р. (t) можно найти из выражения

графа, а / равно минимальному числу неисправных устройств резер­

из состояния 0 (все элементы исправны) в состояние і по кратчай­ шему пути, т. е. без восстановления.

Поясним данную методику примером.

Пример 2.3. Пусть дана система с раздельным резервированием, представленная на рис. 2.4. Все элементы равионадежны и имеют интенсивность отказов X. Работает одна ремонтная бригада, которая осуществляет восстановление с интенсивностью ц. Граф состояний системы приведен на рис. 2.5. Интенсивности переходов из состояния

всостояние определяются из графа следующим образом:

~АХ, X.j — 2Х, X.}/ — X, Х^ — 2Х,

Рі Н“2 Рз' йз — М--

57

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

Требуется определить функцию готовности Г (!) (в изображениях по Лапласу) и коэффициент готовности кг. В нашем случае система имеет два состояния отказа (состояния 2' и 3), поэтому

А,, + Ад *П (р) = р 2’ (Р) + Рг (р) ~ А

Система может находиться в пяти состояниях, следовательно,

А = р [Л0р 1 I- /Цр3 - f А ір 3 -|- А3р -I- .4.,).

Определим коэффициенты Л,- по установленному правилу:

Л„ = 1;

,4., = Xj (Х2 + Х._>>+ Х3 + Ро + IV "4" Г1з) “Ь Х2 (^з ~Ь IV + І1з) +

В этих коэффициентах, как следует из графа состояний, отсутствуют члены, содер­ жащие произведения вида ХіЦі, ХгЦа, Ха|іі, Х2Х2 ', Ха|іі, Хг'рз', Х3|і2 , Х3|і3. По усло­

вию примера /е = 5, а число отказавших устройств в состоянии 2' равно двум и в со­ стоянии 3 равно трем. Тогда полином Д2' будет иметь степень п = к — 1 — 1 = 2, а полином Д3 — степень п — I, т. е.

На основании сформулированного выше правила коэффициенты В ^ ' \ В[г \ В^ ')

могут быть найдены из коэффициентов Ла, А3, Л4, если в последних оставить толь ко те члены, в которых присутствуют сомнолштели Х4, Ха'. Тогда

ßrf’* = XjXg-PgPs = 4Х2р2.

Для определения коэффициентов В ^ , В(3)на основании указанного правила необ­ ходимо в коэффициентах Л3 и Л4 оставить только те члены, в которых присутствуют сомножители Х4, Х2, Х3. Тогда В ^ = Х[Х2Х3 = 16Х3, ß(31 = XjX^XgU, — 16X3p.

Подставив в выражение для кп (р) полиномы и вычисленные значения коэффициен­ тов, получим

-1- 36Х2р + 17Хр2 + 4р2) р + 16Х3р + 12Х2р2 + 4Хр3 + p4J

58

ГЛАВА 2

Требуемое значение функции готовности в изображениях по Лапласу на основании (2.42) примет вид

а коэффициент kr будет равен

. — 8Я2ц2+4Ац3-гц4

Sr _ 16А3ц + 12Я2ц2+4Ац3+ц4'

Следует заметить, что для получения коэффициента простоя или коэффициента готовности можно не искать /гп (р), а находить kr и k„ по формулам (2.43) непосредственно из графа состояний. Из выра­ жения (2.43) следует, что kr есть отношение вида

П

Ё т ‘-

,і = 1

где п — число узлов графа, соответствую щ их отказовым состояниям системы; г — k — п — число узлов графа, соответствую щ их исправ­ ному состоянию системы; Tt — произведение интенсивностей пере­ ходов из всех крайних состояний графа в г'-е состояние отказа при движении в это состояние по кратчайшему пути в направлении стре­ лок; Tj — произведение интенсивностей переходов из всех крайних состояний графа в /-е исправное состояние при движении в это со­

,Ту + Т 3

іп Г0+ Т 1+ Т 2 + 7’2. + Г3 ’

где

Руководствуясь указанным правилом, легко найти вероятность пребывания резервированной восстанавливаемой системы в любом і-м состоянии по формуле

59

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГОТОВНОСТИ

по кратчайшему пути в направлении стрелок; графа.

Рассмотренный алгоритм позволяет сущ ественно упростить ана­ лиз надежности слож ны х резервированных восстанавливаемых устройств. Он может быть легко реализован на цифровых вычисли­ тельных машинах. Особенно просто удается вычислить предельные значения вероятности пребывания системы в любом состоянии, в частности наиболее важ ную характеристику надежности — коэф­ фициент готовности.

Н едостаток методики состоит в том, что она не освобождает иссле­ дователя от необходимости отыскания оригинала функции по ее изо­ бражению для получения количественных характеристик надеж ­ ности резервированных восстанавливаемы х систем во временной области. Н е доказана такж е возмож ность применения методики в тех случаях, когда система может переходить из состояния і не только в соседние, но такж е и в другие состояния.

Первый из указанны х недостатков молено обойти, используя для определения характеристик надежности во временной области ана­ логовые вычислительные машины.

В силу того, что метод получения функций времени на основа­ нии изобралеений по Л ап ласу является достаточно общим, целесооб­ разно изложить данный метод в отдельном параграфе и показать его применение как для получения функции готовности резервиро­ ванных восстанавливаемы х систем, так и для непосредственного решения интегральных уравнений типа Вольтерра 2-го рода.

Определение функции готовности Г (t) связано с трудностями, кото­ рые встречаю тся при решении интегрального уравнения для полу­ чения средней частоты отказов с учетом ремонта сор (t). К ак уже было указано, решение интегрального уравнения молсет быть осу ­ ществлено с помощью преобразования Л апласа для сравнительно простых систем. При усложнении систем возникаю т трудности, связанны е с отысканием оригинала функции. Поэтому рассмотрим методику решения на А ВМ интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода с разностным ядром и покажем ее использование для устра­ нения недостатка изложенной в предыдущем параграфе методики оценки готовности резервированных восстанавливаемых систем.

60