Контрольная работа: Основные разделы теоретической механики

Основные разделы теоретической механики

1.  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Теоретическая механика играет важную роль в подготовке современного инженера. Решение задач по теоретической механике способствует формированию инженерного мышления студента Теоретическая механика играет роль своеобразного связующего звена между физикой, математикой и инженерными дисциплинами. Три раздела теоретической механики: статика, кинематика и динамика являются научной основой общеинженерных дисциплин.

.1 Статика

Статика - раздел механики, в котором изучаются правила сложения сил и условия равновесия материальных тел. В статике рассматриваются абсолютно твердые тела, являющиеся моделями материальных тел. Материальное тело можно представить как систему, образованную непрерывной совокупностью материальных точек. Механизм, машина - это механические системы. А под материальной точкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь. В абсолютно твердых телах расстояние между отдельными точками остается неизменным. Такое тело не может ни деформироваться, ни изнашиваться.

Мера механического взаимодействия материальных тел называется силой. Сила характеризуется численным значением (модулем), направлением и точкой приложения. Таким образом, сила является вектором. Прямая, по которой направлен вектор, называется линией действия силы. Совокупность сил, действующих на данное тело, называется системой сил, а силы входящие в состав данной системы называются составляющими этой системы. Системы сил, оказывающие на твердое тело одинаковые действия, называются эквивалентными. Если под действием системы свободное тело не меняет своего равномерного движения, то такая система называется уравновешенной. Сила, эквивалентная системе сил называется равнодействующей этой системы.

.1.1 Аксиомы статики

В основе механики, а в частности статики, лежат аксиомы - законы природы, принятые без доказательства и установленные из опытов и наблюдений.

Аксиома I. Две силы, приложенные к твердому телу уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по модулю и действуют по одной прямой в противоположных направлениях. (рис. 6.1.)

Рис. 1.

Аксиома II. Не нарушая состояние абсолютно твердого тела силы к нему можно прикладывать тогда и только тогда, когда они составляют уравновешенную систему.

Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия (см. рис 6.2.). На рисунке

Рис.2.

Другими словами, сила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор.

Аксиома III. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке твердого тела, приложена в этой же точке и изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах данных сил  (рис.6.3.)

Рис.3.

На основании данной аксиомы можно складывать силы и раскладывать их на составляющие.

Аксиома IV. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (3^й закон Ньютона), (рис.6.4.)

Рис.4.

Аксиома V. Если твердое тело находится в равновесии, то это равновесие не нарушится, если тело станет абсолютно твердым. Данная аксиома (принцип отвердевания) используется в том случае, когда рассматривается равновесие тех тел, которые нельзя считать твердыми.

.1.2 Связи и реакции связей

Тела, рассматриваемые в механике, могут быть свободными и несвободными. Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же другие тела ограничивают его движение в одном или нескольких направлениях, то тело является несвободным. Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела, называют связями. Не изменяя состояния несвободного тела, можно отбросить наложенные на него связи, приложив их реакции. После этого тело можно рассматривать как свободное. Связи, в которых отсутствуют силы трения, называют идеальными.

Реакция связи в виде гладкой поверхности без трения всегда направлена по нормали к опорной поверхности и называется нормальной. (рис.6.5.)

Рис.5.

Если одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, имеет заострение или ребро, то реакция направлена по нормали к другой поверхности. (рис 6.6.)

Рис.6.

Реакция шарнирно-подвижной опоры без трения (рис.6.) направлена перпендикулярно к опорной поверхности.

Рис.

Шарнирно-неподвижная опора без трения предполагает только поворот тела относительно оси шарнира. Другие перемещения исключены. Реакция такой опоры проходит через центр шарнира, но направление реакции заранее неизвестно, поэтому ее обычно представляют в виде суммы двух составляющих, направленных по координатным осям.  (рис.8.)

Рис.8.

Определение реакции сводится к определению каждой из составляющих.

Реакция гибкой нерастяжимой связи (трос, канат, цепь, нить) направлена вдоль связи к точке подвеса. (рис.6.9.).

Рис.9.

Нити на рис.3.9. без изменения направления реакций могут быть заменены твердыми стержнями при условии их невесомости и соединения посредством идеальных шарниров.

.1.3 Система сходящихся сил

Система сил, линии, действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Поскольку силы являются скользящими векторами, их можно перенести в одну точку - точку схода. Рассмотрим пучок из трех сил, приложенных в одной точке (рис.6.10.).

Рис.10.

На основании аксиомы 3 легко найти равнодействующую сил  и

,

которая также приложена в точке схода и может быть использована для нахождения равнодействующей трех сил

Этот метод может быть использован для определения равнодействующей любого числа сходящихся сил, то есть

Равнодействующая может быть определена и построением силового многоугольника (рис.11.).

Рис.11.

Проекция вектора силы на ось - это скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла, образованного этим вектором с положительным направлением оси. Если вектор параллелен оси, то его проекция на ось равна модулю вектора.

.1.4 Теория моментов

Если линии действия сил лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской. При изучении плоской системы сил мы сталкиваемся с понятием момента сил относительно точки и парой сил. Моментом силы относительно точки называется произведение величины (модуля) силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Длина опущенного перпендикуляра называется плечом силы. Если бы тело было закреплено (рис.12.) в точке О, то сила  стремилась бы вращать тело относительно этой точки. На рисунке отрезок ОА - плечо силы  относительно точки О.

Момент силы измеряется в Ньютонометрах (Н∙м)

Рис.12.

Принято считать момент положительным, если сила стремиться вращать тело против часовой стрелки.

Из определения величины момента следует, что момент силы относительно данной точки не изменится при переносе силы вдоль линии ее действия, а если линия действия силы проходит через точку, момент равен нулю.

Парой сил или просто парой называется система двух равных по модулю и противоположных по направлению параллельных сил. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары называется плечом. Момент пары сил по абсолютной величине равен произведению одной из сил пары на плечо.

Всякую пару, не изменяя ее действие на абсолютно твердое тело, можно заменить другой парой, расположенной как угодно в той же плоскости и имеющей то же направление вращения, при этом можно изменить как плечо пары, так и соответственно модуль ее сил.

Таким образом, всякую силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, присоединяя при этом пару, момент которой равен моменту переносимой силы относительно той точки, в которую переносится сила. А алгебраическая сумма моментов всех данных сил, расположенных произвольно на плоскости, относительно произвольной точки О называется главным моментом данной плоской системы сил относительно этой точки

Вектор , равный геометрической сумме всех сил данной системы, называется главным вектором этой системы.

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия этих сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

На основании вышеизложенного можно сформулировать условие равновесия рычага. Рычагом называется твердое тело, вращающееся около неподвижной оси и находящееся под действием сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной и этой оси. Точка пересечения оси рычага с плоскостью действия сил называется точкой опоры (рис.13.).

Рис13.

Для равновесия рычага необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к рычагу, относительно точки его опоры.

.1.5 Равновесие системы сил

Для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы и главный вектор системы и главный момент системы относительного произвольно выбранного центра равнялись нулю

 и

Существует три формы уравнений равновесия плоской системы сил.

Первая форма: для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю сумма проекций всех сил на каждую из двух любым образом выбранных осей координат, лежащих в плоскости действия сил, и сумма моментов всех сил относительно любой точки в той же плоскости.

Первые два уравнения - это уравнения проекций сил на ось координат, а третье - уравнение моментов.

Вторая форма: для равновесия системы сил, как угодно расположенной на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно каждой из трех, произвольно выбранных, но не лежащих на одной прямой точек плоскости

Третья форма: для равновесия системы сил, произвольно расположенных на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю сумма проекций всех сил на одну какую-либо ось и суммы моментов всех сил относительно двух точек плоскости, выбранных произвольно, но не лежащих на прямой, перпендикулярной к взятой оси проекций.

2. КИНЕМАТИКА

Кинематикой называется раздел теоретической механики, изучающий движение материальных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих это движение. Кинематику часто называют геометрией движения, так как она в значительной мере основана на геометрических представлениях. Другими словами, кинематика рассматривает механическое движение твердого тела без учета сил, вызвавших это движение. Под механическим движением понимается изменение положения тела в пространстве и во времени относительно какого-либо другого тела, с которым обычно связывают систему координат, называемую системой отсчета. Если координаты всех точек тела остаются неизменными во времени, то тело находится в состоянии покоя. Сама система координат также может находиться в движении.

Движение тела относительно подвижной системы координат называется относительным, а относительно неподвижной - абсолютным. Определить движение тела с точки зрения кинематики - это значит найти координаты любой его точки в выбранной системе координат отсчета в данный момент времени.

.1 Уравнения движения точки

Различные точки тела могут совершать различные движения. Поэтому изучение движения начинают с кинематики точки. Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве называется траекторией этой точки. Траектории могут быть плоские и пространственные, криволинейные и прямолинейные. В зависимости от характера изменения скорости движение может быть равномерным и неравномерным. При равномерном движении точка в равные, произвольно взятые, промежутки времени проходит пути одинаковой длины.

Движение точки может быть задано двумя способами: естественным (геометрическим) и координатным.

При естественном способе задания движения указываются траектория точки и закон ее движения по этой траектории. Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения.

Пусть, например, точка М движется по траектории АВ (рис.14.).

Рис.14.

Примем за начало отсчета точку М₀ S - путь, пройденный точкой с начала отсчета за время t. Величина пути S может изменяться во времени, оставаясь связанной с ним некоторой функциональной зависимостью, которую можно выразить уравнением

Зная траекторию движения точки и уравнение движения по этой траектории, можно определить положение точки в любой момент времени. Таким образом, движение точки вполне определяется заданием траектории и уравнения движения. При координатном способе движения точки задается движением ее проекций вдоль осей координат (рис.15).