Контрольная работа: Основные разделы теоретической механики

Рис.15.

Положение точки М в пространстве определяется координатами x, y, z. При движении точки изменяются и ее координаты, являющиеся функциями времени

.2 Скорость точки

Скоростью точки называется вектор, определяющий в каждый данный момент времени быстроту и направление движения точки.

Скорость равномерного движения определяется отношением пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени.

,

где

 - скорость; S- путь; t- время.

Измеряется скорость в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с; см/с; км/ч и т.д.

В случае прямолинейного движения вектор скорости направлен вдоль траектории в сторону ее движения.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то данное движение называется неравномерным. Скорость является величиной переменной и является функцией времени.

Средней за данный промежуток времени скоростью точки называется скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка за этот промежуток времени получила бы то же самое перемещение, как и в рассматриваемом ее движении.

Рассмотрим точку М, которая перемещается по криволинейной траектории, заданной законом

(рис.16.).

Рис.716.

За промежуток времени ∆t точка М переместится в положение М₁ по дуге ММ₁.Если промежуток времени ∆t мал, то дугу ММ₁ можно заменить хордой и в первом приближении найти среднюю скорость движения точки

Эта скорость направлена по хорде от точки М к точке М₁. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при ∆t→ 0

Когда ∆t→ 0, направление хорды в пределе совпадает c направлением касательной к траектории в точке М.

Таким образом, величина скорости точки определяется как предел отношения приращения пути к соответствующему промежутку времени при стремлении последнего к нулю. Направление скорости совпадает с касательной к траектории в данной точке.

.3 Ускорение точки

Отметим, что в общем случае, при движении по криволинейной траектории скорость точки изменяется и по направлению и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Другими словами, ускорением точки называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости во времени. Если за интервал времени ∆t скорость изменяется на величину ,то среднее ускорение

Истинным ускорением точки в данный момент времени t называется величина, к которой стремится среднее ускорение при ∆t→ 0, то есть

При отрезке времени стремящимся к нулю вектор ускорения будет меняться и по величине и по направлению, стремясь к своему пределу .

Размерность ускорения

===.

Ускорение может выражаться в м/с²; см/с² и т.д.

В общем случае, когда движение точки задано естественным способом, вектор ускорения обычно раскладывают на две составляющие, направленные по касательной и по нормали к траектории точки.

Тогда ускорение точки в момент t можно представить так

Обозначим составляющие пределы через  и .

Направление вектора не зависит от величины промежутка ∆t времени.

Это ускорение всегда совпадает с направлением скорости, то есть, направлено по касательной к траектории движения точки и поэтому называется касательным или тангенциальным ускорением.

Поскольку численное значение вектора  равно приращению скорости  точки за рассматриваемый промежуток ∆t времени, то численное значение касательного ускорения

Так как

 то  

Численное значение касательного ускорения точки равно производной по времени от численной величины скорости. Численное значение нормального ускорения точки равно квадрату скорости точки, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке кривой

Полное ускорение при неравномерном криволинейном движении точки складывается геометрически из касательного и нормального ускорений.

2.4 Сложное движение точки

Движение точки по отношению к системе отсчета, принимаемой за неподвижную, называется абсолютным движением. Так, например, движение какой-либо точки М колеса локомотива (рис.1), совершающееся по отношению к Земле, по кривой называемой циклоидой, можно считать состоящим из двух простых движений: движение точки по окружности по отношению к корпусу локомотива и движения этой точки вместе с локомотивом.

Движение же точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным движением.

Существует еще один вид движения точки связанной в данный момент с подвижной системой отсчета по отношению к неподвижной системе отсчета - переносное движение точки.

В приведенном примере круговое движение точки М является относительным. Если эту точку мысленно жестко связать с корпусом локомотива, то ее движение вместе с локомотивом будет переносным, а движение точки М по циклоиде по отношению к земле является абсолютным.

Рис.1

Еще один пример: движение человека по палубе движущегося по реке судна есть движение относительное; движение точки палубы, в которой в данный момент находится человек относительно берега реки - переносным, а движение человека относительно берега - абсолютным.

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

_ср =_пер +_отн.

Аналогичным образом абсолютное ускорение точки в случае поступательного движения системы отсчета равно геометрической сумме переносного и относительного ускорений.

_абс =_пер +_отн.

.5 Простейшие виды движения твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, движется, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым и параллельно расположенным траекториям и имеют в каждый данный момент равные скорости и равные ускорения. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором плоскость, неизменно связанная с телом и проходящая через некоторую неподвижную прямую, может лишь поворачиваться вокруг этой прямой, называемой осью вращения тела. (рис.18.).

Рис.18.

Угол  между неподвижной плоскостью, проходящей через ось вращения, и плоскостью, неизменно связанной с вращающимся телом и также проходящей через ось вращения, называется углом поворота или угловым перемещением данного тела. Этот угол является некоторой функцией времени

Это уравнение называется уравнением вращательного движения тела.

Величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела, называется его угловой скоростью ω.

 = - средняя угловая скорость.

 - угловая скорость тела в данный момент времени.

Поскольку  есть производная по времени функции , то        

Таким образом, угловая скорость тела в данный момент времени равна производной от угла поворота тела по времени. Угловая скорость измеряется в радианах в секунду: 1/с (рад/с).

Один оборот тела соответствует его повороту на 2π радиан. При n оборотах в минуту

 1/с.

В данной формуле n выражается в об/мин.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости тела, называется угловым ускорением.

Среднее угловое ускорение

Угловое ускорение в данный момент

Поскольку  является производной функции ω, то

То есть угловое ускорение тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота. Размерность углового ускорения 1/с².

Плоскопараллельным или плоским движением твердого тела называется такое, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Пусть неизменно связанная с плоской фигурой произвольная прямая перемещается при движении этой фигуры за некоторый промежуток времени из положения АВ в положение А′В′ (рис.19).

Рис.19.

Это перемещение плоской фигуры можно представить составленным из поступательного и вращательного перемещений, что ясно видно из рис.19. Прямая АВ как бы поворачивается на угол , занимая положение АВ^′′, а затем перемещается параллельно самой себе в положение А^′ В^′.

Скорость любой точки плоской фигуры при плоскопараллельном движении в каждый данный момент равна геометрической сумме двух скоростей: поступательной скорости произвольной точки фигуры, выбранной за полюс и вращательной скорости рассматриваемой точки относительно полюса.

Аналогичным образом, если переносное движение является поступательным, то ускорение какой-либо точки плоской фигуры при плоском движении равно векторной сумме ускорений полюса и ускорению этой точки от вращательного движения плоской фигуры вокруг полюса.

3. ДИНАМИКА

.1 Введение в динамику. Законы динамики

Динамикой называется раздел теоретической механики, изучающий зависимость между механическим движением точек или материальных тел и действующими на них силами. Динамика изучает такие системы сил, которые не находятся в состоянии равновесия. Система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в состоянии относительного покоя или в состоянии равномерного и прямолинейного движения. Другими словами, под действием уравновешенной системы сил или при отсутствии силовых воздействий материальная точка не испытывает ускорений и движется равномерно и прямолинейно.

Сила, действующая на движущуюся материальную точку равна по модулю произведению массы точки на ее ускорение. Направление этой силы совпадает с направлением ускорения

Это основной закон динамики. Он может быть записан и в скалярной форме

Из этого уравнения можно получить выражение для определения ускорения

Анализируя выражение, видим, что чем больше масса, тем больше потребуется сила для сообщения телу определенного ускорения. Следовательно, масса характеризует «инертность» или «неподатливость» тела взаимодействию силы.

По определению Ньютона, массой тела называется количество вещества, содержащееся в этом теле. Из уравнения  видно, что масса материальной точки (тела) является мерой ее инертности.

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки (тела) всегда равны по величине и противоположны по направлению.