Контрольная работа: Основные разделы теоретической механики

Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение, получаемое точкой будет таким же, как и действие одной силы, равной геометрической сумме этих сил.

.2 Две основные задачи динамики точки

Все задачи динамики можно разделить на две основные группы. Первая задача - это когда известно движение данной материальной точки или данной системы. Требуется определить силы, действующие на эту точку или эту систему. Вторая задача - это когда известны силы, действующие на данную материальную точку или данную систему. Требуется определить движение этой точки или этой системы. Вторая задача является обратной первой.

Системой материальных точек или просто системой называется совокупность материальных точек, связанных между собой определенными условиями. Каждая точка механической системы имеет определенную массу m_i. Сумма этих масс составляет массу системы m_c.

Положение каждой точки по отношению к системе отсчета Oxyz в данный момент времени определяется координатами x_i; y_i; z_i.

О распределении масс в теле можно судить по положению центра масс, координаты которого находятся по формулам

Движение материальной точки называется свободным, если оно не ограничено в пространстве другими точками и несвободным, если на нее действует какая-либо другая точка. Ограничения, налагаемые на движение точек действиями других тел, называются связями.

При изучении движения несвободной материальной точки применяют принцип освобождаемости точки от связей, рассматриваемый в статике. Этот принцип позволяет рассматривать движение несвободной материальной точки, как движение свободной точки под действием заданных сил и реакций связей.

Все силы, действующие на точки данной системы можно разделить на два вида: внутренние и внешние. Внутренними силами называются силы, с которыми действуют друг на друга точки или тела данной системы.

Геометрическая сумма всех внутренних сил всякой системы равна нулю.

Следовательно, алгебраическая сумма проекций на любую ось всех внутренних сил системы также равна нулю.

.4 Моменты инерции

Если при поступательном движении твердого тела (так же как и при движении материальной точки) мерой его инертности является масса, то при вращательном движении твердого тела мерой инертности является момент инерции относительно оси вращения.

Моментом инерции твердого тела относительно оси называется скалярная величина равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до оси. Алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно оси вращения тела называется вращающим моментом.

где  - момент инерции тела относительно оси;

 - угловое ускорение.

Таким образом, вращающий момент М_вр, приложенный к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равен моменту инерции тела  относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела. Это уравнение называется основным уравнением динамики для вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции твердого тела относительно заданной оси, например оси z, можно представить в виде произведения массы тела m на квадрат линейной величины, называемой радиусом инерции тела относительно этой оси

.

Радиус инерции определяет расстояние от оси z до точки, в которой нужно сосредоточить всю массу тела.

Моментом инерции твердого тела относительно плоскости называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до плоскости.

Для определения моментов инерции тела относительно координатных плоскостей опустим их каждой точки  перпендикуляры    на координатные плоскости. Тогда

Моментом инерции твердого тела относительно полюса (полярным моментом инерции)  называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от точки до полюса

Если через точку О провести координатные оси , то по отношению к этим осям величины  определяются равенствами

называемыми центробежными моментами инерции.

В приведенных формулах  - массы точек, а    - их координаты.

.5 Теорема об изменении кинетической энергии

Движение свободного твердого тела в общем случае можно разбить на два составляющих движения: на переносное поступательное движение вместе с центром масс и относительное вращательное движение по отношению к центру масс. Тогда кинетическая энергия тела определяется по формуле

 - скорость центра масс тела.

 - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Изменение величины  связано с работой приложенных к телу сил. Работа - это количественная мера превращения механического движения в какую-либо другую форму движения. Например, работа сил трения, тормозящих движение тела, работа сил тяжести поднимаемого груза, работа сил упругости пружины, останавливающей движущееся тело, являются мерами уничтожимого механического движения, которое превращается в теплоту, потенциальную энергию, энергию упругого твердого тела.

Изменение кинетической энергии механической системы на некотором перемещении равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы на этом перемещении.

где  - кинетическая энергия системы в первом ее положении;

 - кинетическая энергия системы во втором ее положении.

 - работа внешних сил;

 - работа внутренних сил.

Поскольку сумма работ внутренних сил твердого тела на любом перемещении равна нулю  то

то есть изменение кинетической энергии твердого тела, на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении.

Это теорема об изменении кинетической энергии.

.6 Теорема об изменении количества движения

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех материальных точек этой системы.

Вектор количества движения механической системы имеет модуль равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

Из этой теоремы об изменении количества движения механической системы следует, что если главный вектор внешних сил все время равен нулю, то количество движения механической системы остается постоянным.

.7 Теорема о движении центра масс

В ряде случаев для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс, так как произведения массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

где  - масса системы;

 - ускорение центра масс.

Это уравнение выражает теорему о движении центра масс системы.

.8 Теорема об изменении кинетического момента

Кинетическим моментом или главным моментом количества движения механической системы относительно данного центра называют вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех материальных точек системы относительно этого центра.

где  - кинетический момент механической системы относительно центра О;

 - радиус-вектор точки, проведенный из центра О;

 - вектор скорости точки.

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительного некоторого центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Этому векторному равенству соответствуют три равенства в проекциях на оси координат:

Приведенные уравнения показывают, что производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой оси равна главному моменту внешних сил относительно этой оси.

Отсюда следует, что если главный момент внешних сил относительно некоторой оси все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Аналогично, если главный момент внешних сил относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.

.9.1 Дифференциальные уравнения движения

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и его центр масс, поэтому дифференциальные уравнения движения центра масс являются дифференциальными уравнениями движения твердого тела. Дифференциальные уравнения движения центра масс получим, проектируя обе части равенства

на оси координат . .        .

Здесь  масса тела.

Данные дифференциальные уравнения используются для решения двух типов задач динамики поступательного движения тела.

Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно неподвижной оси его вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела

Теорема об изменении кинетического момента механической системы выражается уравнением

где  - главный момент внешних сил.

так как

то

и уравнение принимает вид

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. С помощью рассмотренного дифференциального уравнения можно решать следующие задачи:

.по заданному уравнению вращения тела  и его моменту инерции  определить главный момент внешних сил.

.по заданным внешним силам и моменту инерции тела находить уравнение вращения тела.

.определять момент вращения тела  относительно оси вращения, зная величины  и .

.9.2 Принцип Даламбера

Если в любой момент времени к действующим на точку силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система будет уравновешенной. Это положение выражает принцип Даламбера для материальной точки.

Принцип Даламбера для системы можно сформулировать так: если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применить все уравнения статики.

Таким образом, положение

есть математическое выражение принципа Даламбера для системы.

.9.3 Принцип возможных перемещений

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Рис.20.

Возможным перемещением кривошипного механизма, изображенного на рисунке 20., является перемещение, соответствующее повороту кривошипа ОА на бесконечно-малый угол  вокруг оси вала. Возможным перемещением  пальца кривошипа А представляет собой отрезок касательной АА^/ к дуге окружности с центром в точке О, равный по величине