Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г
Альтернативная |
гипотеза |
Н : |
"Уравнение регрессии |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
неадекватно". |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для проверки |
этих гипотез |
принято |
использовать |
|||||
F-критерий Фишера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом общую дисперсию (дисперсию выходного |
||||||||
параметра) SV2сравнивают с остаточной дисперсией S²y ост |
||||||||
Напомним, что |
= |
∑ |
[ − |
] |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∑ |
−1 |
|
|
(5.24) |
||
|
ост = |
[ −− |
] |
, |
|
|||
где l=k+1 – число членов аппроксимирующего полинома, а k – число факторов. Так, например, для линейной зависимости
(5.5) k=1, l=2.
В дальнейшем определяется экспериментальное значение F-критерия F=Sy2/ S²y ост который в данном случае показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты
опытов лучше, чем среднее y = |
|
|
i=C=const. |
|
|
|
|||
Если F>Fα;m1;m2, то |
уравнение регрессии адекватно. Чем |
|||
|
|
∑ |
|
|
больше значение F превышает F |
для выбранного α и |
|||
|
|
|
|
α;m1;m2 |
числа степеней свободы m =n-1, m =n-l, тем эффективнее
1 2
уравнение регрессии.
Рассмотрим также случай, когда в каждой i-й точке x для
i
повышения надежности и достоверности осуществляется не одно, а m* параллельных измерений (примем для простоты,
125
что m* одинаково для каждого фактора). Тогда число
экспериментальных значений величины у составит n =n m*.
Σ
В этом случае оценка адекватности модели производится следующим образом:
1) определяется |
yi |
=∑ |
/m* среднее из серии |
параллельных опытов при x=x, где y – значение параметра у
i ij
при x=x в j-м случае;
i
2)рассчитываются значения параметра ỹi по уравнению регрессии при x=xi;
3)рассчитывается дисперсия адекватности
Sад2= |
∑ [ӯ ỹ] |
, |
(5.25) |
где n – число значений x;
i
l – число членов аппроксимирующего полинома
(коэффициентов b), для линейной зависимости l=2;
i
4) определяется выборочная дисперсия Y при x=x:
i
Si2= |
|
[ |
; |
∑ |
|
ӯ]² |
|
|
|
|
|
5)определяется дисперсия воспроизводимости
Sвосп2=∑ i2/n.
Число степеней свободы этой дисперсии равно m=n(m*-1);
6)определяется экспериментальное значение критерия Фишера F= Sад2/ Sвосп2;
7)определяется теоретическое значение этого же критерия
F , где m =n-l; m = n (m*-1);
α;m1;m2 1 2
8) если F≤F , то уравнение регрессии адекватно, в
α;m1;m2
противном случае – нет.
126
5.5.1. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии
Надежность оценок b уравнения регрессии можно
i
охарактеризовать их доверительными интервалами Δb, в
i
которых с заданной вероятностью находится истинное значение этого параметра.
Наиболее просто построить доверительные интервалы для параметров линейного уравнения регрессии, т.е. коэффициентов b0 и b1. При этом предполагается, что для
каждого значения случайной величины x=x имеется распре-
i
деление со средним значением ỹi= b0+b1xi и дисперсией S2yi=Sвосп2. Иными словами, делается допущение, что случайная величина Y распределена нормально при каждом значении,xi а дисперсия S2yi во всем интервале изменения x постоянна: (см. рис. 5.9).
Для линейного уравнения среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента уравнения регрессии Sbi можно определить по закону накопления ошибок
Sbi= ∑ ( |
|
)2Sj2 |
(5.26) |
|
при условии, что Sy12=Sy22=…=Syi2=…=Syn2=Sвосп2;
= ∑ |
восп ∑ |
(5.27) |
− (∑ ) ; |
127
восп
= ∑ − (∑ ) . (5.27а)
Sb0 и Sb1 называются соответственно стандартной ошибкой свободного члена и стандартной ошибкой коэффициента регрессии Sb1.
Проверка значимости коэффициентов выполняется по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза H0: bi=0, т.е. i-й коэффициент генеральной совокупности при заданном уровне значимости α отличен от нуля.
Построим доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Δbi=ta ; n-1 ∙ Sbj , |
(5.28) |
где число степеней свободы в критерии Стьюдента определяется по соотношению n-l. Потеря l=k+1 степеней
свободы обусловлена тем, что все коэффициенты b
i
рассчитываются зависимо друг от друга, что следует из уравнений (5.16) и (5.16а).
Тогда доверительный интервал для Δbi коэффициента
уравнения регрессии составит (bi-Δbi; b+Δbi). Чем уже
i
доверительный интервал, тем с большей уверенностью можно говорить о значимости этого коэффициента.
Необходимо всегда помнить рабочее правило: "Если абсолютная величина коэффициента регрессии больше, чем его доверительный интервал, то этот коэффициент значим".
Таким образом, если |bi|>|Δbi|, то bi коэффициент значим, в противном случае – нет.
128
Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы и в формулы для их расчета (5.16) и (5.16а) входят разноименные переменные.
5.6. Линейная множественная регрессия
При изучении множественной регрессии не существует графической интерпретации многофакторного пространства. При проведении экспериментов в такой ситуации исследователь записывает показания приборов о состоянии функции отклика y и всех факторов xi, от которых она зависит. Результат исследований – это матрица наблюдений.
….…. ;
…. …. ; |
(5.29) |
….…. ;
….…. .
Здесь n – число опытов; k – число факторов; xij – значение j-го фактора в i-м опыте; yi– значение выходного параметра для i-го опыта.
Задача линейной множественной регрессии состоит в построении гиперплоскости в (k+1)-мерном пространстве,
отклонения результатов наблюдений y от которой были бы
i
минимальными при использовании метода наименьших квадратов. Или, другими словами, следует определить значения коэффициентов b0, ..., bj, ..., bk в линейном полиноме
y = b + ∑ b x ,
минимизирующие выражение
129