Материал: Основы инженерного эксперимента. Солженикин П.А., Стогней В.Г
Ф = ∑ ( − ) = ∑ [ − + + + +
] → min |
(5.30) |
|
Процедура определения коэффициентов b , ..., b, ..., b в
0 j k
принципе не отличается от одномерного случая, рассмотренного ранее, и поэтому здесь не приводится.
Для оценки тесноты связи между функцией отклика y) и несколькими факторами x , x , ..., x, ..., x используют
1 |
2 |
j |
k |
коэффициент множественной корреляции R, который всегда положителен и изменяется в пределах от 0 до 1. Чем больше R, тем качественнее предсказания данной моделью опытных данных с точки зрения близости ее к функциональной. При функциональной линейной зависимости R=1.
Расчеты обычно начинают с вычисления парных коэффициентов корреляции, при этом вычисляются два типа парных коэффициентов корреляции:
1)– коэффициенты, определяющие тесноту связи
между функцией отклика и одним из факторов x;
j
2)– коэффициенты, показывающие тесноту связи
между одним из факторов |
и фактором x (j, u =1÷k). |
|
|
|
u |
Если один из коэффициентов |
окажется равным 1, то |
|
это означает, что факторы |
и x |
функционально связаны |
|
u |
|
между собой. Тогда целесообразно один из них исключить из рассмотрения, причем оставляют тот фактор, у которого коэффициент больше .
После вычисления всех парных коэффициентов корреляции можно построить матрицу коэффициентов корреляции следующего вида:
130
1 |
…. |
…. |
; |
|
1 |
…. |
…. |
;; |
(5.31) |
1 |
…. |
…. |
||
|
….1…. |
; |
|
|
….….1.
Однако парные коэффициенты корреляции не характеризуют тесноту связи, так как они вычисляются при случайно изменяющихся значениях других факторов. Действительно, при рассмотрении трех и более случайных величин коэффициенты корреляции любой пары из этих случайных величин могут не дать правильного представления о степени связи между всеми случайными величинами. Это объясняется тем, что на закон распределения вероятностей исследуемой пары случайных величин могут оказывать влияние и другие рассматриваемые случайные величины. Это обстоятельство делает необходимым введение показателей стохастической связи между парой случайных величин при условии, что значения других случайных величин зафиксированы. В этом случае говорят о статистическом анализе частных связей. Используя матрицу (5.31), можно вычислить частные коэффициенты корреляции, которые
показывают степень влияния одного из факторов x на
j
функцию отклика y) при условии, что остальные факторы остаются на постоянном уровне. Формула для вычисления частных коэффициентов корреляции имеет вид
|
|
|
|
, ,…, ,…, = / |
∙ , |
(5.32) |
|
131
где D – определитель матрицы, образованной из матрицы
1j
(5.31) вычеркиванием 1-й строки и j-го столбца. Определители
D |
и D вычисляют аналогично. Как и парные коэффициенты, |
11 |
jj |
частные коэффициенты корреляции изменяются от -1 до +1. Значимость и доверительный интервал для коэффициентов
частной корреляции определяются так же, как для коэффициентов парной корреляции, только число степеней свободы вычисляют по формуле
|
|
|
m = n -k*-2, |
|
(5.33) |
||
где k*=k-1 – порядок частного коэффициента парной |
|||||||
корреляции. |
|
|
|
|
|
|
|
Для |
вычисления |
коэффициента |
множественной |
||||
корреляции |
, |
,…, |
,…, |
используют матрицу (5.31): |
|||
|
, |
,…, |
,…, |
= |
1 − / |
, |
(5.34) |
где D – определитель матрицы (5.31).
Множественный коэффициент корреляции дает оценку
тесноты связи между у и совокупностью всех переменных x ,
1
x , ..., x, ..., x .
2 j k
Если число опытов n сравнимо с числом коэффициентов l=k+1, связи оказываются преувеличенными. Поэтому следует исключить систематическую погрешность, физический смысл которой состоит в следующем. Если разность n и l будет уменьшаться, то коэффициент множественной корреляции R будет возрастать и при n-l=0 окажется равным R=+1, а уравнение регрессии превратится в функциональное уравнение
132
гиперплоскости, которая пройдет через все n экспериментальных точек. Однако ясно, что случайный характер переменных процесса при этом не может измениться. В связи с этим требуется оценка значимости коэффициента множественной корреляции.
Значимость коэффициента множественной корреляции проверяется по критерию Стьюдента:
t = ≥ t ; ;m = n − k− 1,
где ̅– среднеквадратичная погрешность коэффициента множественной корреляции, рассчитываемая по выражению
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (1 − |
)√ |
− |
|
− 1 . |
(4.35) |
||
|
Значимость R можно проверить также по критерию |
|||||||
Фишера |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
(( |
) |
) |
. |
|
(4.36) |
|
|
Если расчетное значение |
F |
превышает |
теоретическое |
||||
F |
, то гипотезу о равенстве коэффициента множественной |
|||||||
α;m1;m2 |
|
|
|
|
|
|
||
корреляции нулю отвергают и связь считают статистически значимой. Теоретическое (табличное) значение критерия Фишера определяется для выбранного уровня значимости α и
числа степеней свободы m = n-k-1 и m =k .
1 2
Если коэффициент множественной корреляции оказался неожиданно малым, хотя априорно известно, что между
выходом y и входами x ,...,x должна существовать достаточно
1 k
тесная корреляционная связь, то возможными причинами такого явления могут быть следующие:
133
а) ряд существенных факторов не учтен, и следует включить в рассмотрение дополнительно эти существенные входные параметры;
б) линейное уравнение плохо аппроксимирует в действительности нелинейную зависимость = ( ,…, )и
следует определить коэффициенты уже нелинейного уравнения регрессии методами регрессионного анализа;
в) рабочий диапазон рассматриваемых факторов находится в районе экстремума функции отклика – в этом случае следует расширить диапазон изменения входных переменных, а также перейти к нелинейной математической модели объекта.
5.7. Нелинейная регрессия
Используя подходы, изложенные ранее, можно построить практически любые формы нелинейной связи. С этой целью в инженерной практике очень часто используют линеаризующие преобразования.
В таблице приведены часто встречающиеся парные зависимости и линеаризующие преобразования переменных.
Качество преобразования результатов проверяют с помощью уравнения = , + , ∙ , .
134