Материал: Основы математического моделирования. курс лекций. Перова А.В
Таблица 15 Выбор оборудования: матрицы попарных сравнений
для уровня 3, решения и согласованность
|
А |
Вектор |
прио- |
Ремонтопри- |
А |
Вектор |
Надежность |
Б |
Б |
приорите- |
|||
|
В |
ритетов |
|
годность |
В |
тов |
|
|
|
|
|||
А |
1 |
0,754 |
|
А |
1 |
0,674 |
|
6 |
|
|
|
5 |
|
|
8 |
|
|
|
4 |
|
Б |
1/6 |
0,181 |
|
Б |
1/5 |
0,101 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
1/3 |
|
В |
1/8 |
0,065 |
|
В |
1/4 |
0,226 |
|
1/4 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
max = 3,136 |
|
|
max = 3,086 |
|
|
|
ИС = 0,068 |
|
|
ИС = 0,043 |
|
|
|
ОС = 0,117 |
|
|
ОС = 0,074 |
|
Производи- |
А |
Вектор |
прио- |
Современное |
А |
Вектор |
Б |
программное |
Б |
приорите- |
|||
тельность |
В |
ритетов |
|
обеспечение |
В |
тов |
|
|
|
||||
А |
1 |
0,233 |
|
А |
1 |
0,747 |
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
1/5 |
|
|
|
6 |
|
Б |
1/7 |
0,005 |
|
Б |
1/8 |
0,060 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1/8 |
|
|
|
1/5 |
|
В |
5 |
0,713 |
|
В |
1/6 |
0,193 |
|
8 |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
max = 3,247 |
|
|
max = 3,197 |
|
|
|
ИС = 0,124 |
|
|
ИС = 0,099 |
|
|
|
ОС = 0,213 |
|
|
ОС = 0,170 |
|
Страна произ- |
А |
Вектор |
прио- |
Общее состо- |
А |
Вектор |
Б |
Б |
приорите- |
||||
водитель |
В |
ритетов |
|
яние |
В |
тов |
|
|
|
|
|||
А |
1 |
0,745 |
|
А |
1 |
0,200 |
|
8 |
|
|
|
1/2 |
|
|
6 |
|
|
|
1/2 |
|
Б |
1/8 |
0,065 |
|
Б |
2 |
0,400 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1/4 |
|
|
|
1 |
|
155
Продолжение табл. 15
В |
|
|
|
1/6 |
0,181 |
|
В |
2 |
|
0,400 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
max = 3,130 |
|
|
|
|
max = 3,000 |
|
|
|
|
|
|
ИС = 0,068 |
|
|
|
|
ИС = 0,000 |
|
|
|
|
|
|
ОС = 0,117 |
|
|
|
|
ОС = 0,000 |
|
Когда изготов- |
|
А |
Вектор прио- |
|
Финансовые |
А |
|
Вектор |
|||
|
Б |
|
Б |
|
приорите- |
||||||
лено |
|
|
В |
ритетов |
|
условия |
В |
|
тов |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
А |
|
|
|
1 |
0,333 |
|
А |
1 |
|
0,072 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/5 |
|
|
Б |
|
|
|
1 |
0,333 |
|
Б |
7 |
|
0,650 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
В |
|
|
|
1 |
0,333 |
|
В |
5 |
|
0,278 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
max = 3,000 |
|
|
|
|
max = 3,065 |
|
|
|
|
|
|
ИС = 0,000 |
|
|
|
|
ИС = 0,032 |
|
|
|
|
|
|
ОС = 0,000 |
|
|
|
|
ОС = 0,056 |
|
~ |
~ |
Если |
|
теперь |
умножить |
матрицу |
A |
на вектор |
|||
~ |
T |
, то получим |
|
|
|
|
|||||
x |
(x1 |
,...,xn ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
y Ax |
nx . |
|
|
||||
Приведенные соотношения (1), (3) означают, что в случае полной согласованности попарных суждений, что выполняются для матрицы, имеющей приведенный на рис. 31 вид, проводимые вычисления восстанавливают истинные веса элементов по результатам попарных сравнений. Это позволяет оценить степень их важности в целом. Полная согласованность попарных сравнений означает, что элементы матрицы A удовлетворяют уравнению aijajk aik .
Как уже отмечалось, получаемые на практике матрицы попарных сравнений не являются согласованными. Поэтому требуется оценить степень согласованности высказанных суждений. Полученные соотношения (1) – (3) определяют возможность по-
156
добной оценки степени согласованности суждений для любой обратносимметричной матрицы. Действительно, как следует из соотношения (3) для полностью согласованной матрицы A, величина n играет роль собственного числа, соответствующего соб-
~
ственному вектору x. В общем же случае для любой обратносимметричной матрицы A величина наибольшего собственного числа max удовлетворяет неравенству
max n, A ~x max ~x .
Поэтому величина
ИС max n
n1
вМАИ используется в качестве индекса согласованности. Кроме того, вводится отношение согласованности
OС ИС 100%,
ИСr
где ИСr индекс согласованности, получаемый при усреднении множества данных для матриц попарных сравнений при случайном равновероятном (то есть полностью неосмысленном) выборе количественных значений суждений из шкалы 1/10, 1/9,…, 9, 10, но с сохранением свойства обратной симметрии.
|
Индекс согласованности при случайной |
Таблица 16 |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
оценке сравнений |
|
|
|
|
|
||||
n |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
7 |
8 |
|
9 |
10 |
|
ИСr |
|
0 |
|
0 |
|
0,58 |
|
0,90 |
1,12 |
1,32 |
1,41 |
|
1,45 |
1,49 |
|
Значения |
|
ИСr |
приведены в табл. 16. |
Величина OС |
|||||||||||
считается приемлемой, если она имеет значения порядка 20% и менее. Если OС выходит из этих пределов, то можно рекомендовать лицам, формулирующим суждения, пересмотреть их с использованием дополнительной информации. В табл. 14, 15 приведены значения max , ИС , OС , соответствующие по-
157
парным оценкам, также приведенным в этих таблицах для данной конкретной задачи.
Таким образом, чтобы оценить степень согласованности реально получаемых в ходе опроса матриц попарных сравнений требуется рассчитать ИС, ОС на основе определения величины max по следующим формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
max |
yi , |
y |
(y1,...,yn ) |
T |
|
, |
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
A x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
n |
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(x1,...,xn ), |
xi |
|
aik |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где A |
|
aij |
|
|
|
|
исследуемая матрица. Выражения (4) |
по сути |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
повторяют цепочку выражений (1) - (3), проводимых для согласованной матрицы A.
После того как, возможно и не с первого раза, получены достаточно согласованные оценки на различных уровнях и их локальные приоритеты, в МАИ осуществляется синтез глобальных приоритетов. Для этого по каждой i-ой альтернативе вычисляется величина
|
|
|
Гi |
n2 |
~(2)~ |
(3),k |
, |
|
(5) |
||||
|
|
|
xk |
|
xi |
|
|
||||||
|
|
~(3),k |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
компонент |
вектора локальных |
приоритетов |
||||||||
|
xi |
|
|
||||||||||
~(3),k |
~(3),k |
~(3),k |
) |
T |
для |
i-ой альтернативы третьего (ниж- |
|||||||
x |
|
(x1 |
|
,...,xn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
него) |
уровня относительно k -го критерия верхнего (второго |
||||||||||||
на рис. |
57) |
уровня; |
|
~(2) |
|
компонент вектора приоритетов |
|||||||
|
xk |
|
|||||||||||
~(2) |
|
~ |
(2) |
|
~(2) |
) |
T |
критериев второго уровня; |
n2 , n3 коли- |
||||
x |
(xi |
|
,...,xn |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
чество элементов, выделенных в иерархии на втором и третьем уровнях.
В табл. 17 приведены итоговые результаты определения приоритетов выбора для различных уровней и полученные глобальные приоритеты, поясняющие смысл формул (4), (5).
158
Таблица 17 Выбор оборудования: глобальные приоритеты выбора
~(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщен- |
||
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
ные |
или |
|
|
глобальные |
||||||||||
~(3) |
(0,175 |
(0,063 |
(0,149 |
(0,019 |
(0,036 |
(0,042 |
(0,167 |
(0,35 |
|||
приоритеты |
|||||||||||
x |
) |
) |
) |
) |
) |
) |
) |
) |
Гi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,754 |
0,233 |
0,745 |
0,333 |
0,674 |
0,747 |
0,200 |
0,07 |
0,378 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Б |
0,181 |
0,055 |
0,065 |
0,333 |
0,101 |
0,060 |
0,400 |
0,65 |
0,351 |
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
0,065 |
0,713 |
0,181 |
0,333 |
0,226 |
0,193 |
0,400 |
0,27 |
0,269 |
|
|
8 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, для числовых значений, приведенных в табл. 17, глобальный приоритет станка A вычисляется как:
Г1 (0,754 0,175) (0,233 0,063) ... (0,072 0,35) 0,378.
Этот станок и был куплен, так как он имеет наивысший приоритет Г1 0,378, тогда как варианты Б и В имеют прио-
ритеты Г2 0,351 и Г3 0,269.
При проведении оценок следует иметь в виду все сравниваемые элементы, чтобы сравнения были релевантными. Нетрудно убедиться в том, что для проведения обоснованных сравнений не следует рассматривать более, чем 7…9 элементов. В таком случае маленькая погрешность в каждой относительной величине меняет ее не очень значительно.
В некоторых задачах при формировании оценок попарных суждений следует учитывать совокупное мнение группы независимых участников опроса. В этом случае каждая оценка aij формируется как геометрическое среднее мнений участни-
ков:
k |
k |
|
aij |
aij(r) , |
|
|
r 1 |
|
где aij(r) r 1,k – мнения k участников опроса.
159