Курсовая работа (т): Основы метода наименьших квадратов

Выполнив аналогичные действия для каждого k - го влияющего фактора, получают регрессионную зависимость для рассмотренного выходного параметра. Порядок расположения факторов для этой зависимости определен на этапе ранжирования и отличается от порядка в общем уравнении (1.6).

Для оценки точности аппроксимации найденной функции вычисляют корреляционное отношение

и среднюю относительную ошибку

Совокупность зависимостей по каждому выходному параметру представляет собой статистическую модель многомерного технологического объекта .

.3 Реактор идеального вытеснения

Модель идеального вытеснения предполагает, что в реакторе реализуется так называемый поршневой режим движения потока, все частицы двигаются в одном заданном направлении, в реакторе отсутствует осевое перемешивание, но разрешено радиальное, в связи с чем значения всех параметров технологического процесса изменяются плавно от начального до конечного состояния.

Время пребывания всех частиц в аппаратах идеального вытеснения одинаково, т. е. временной характеристикой реакторов идеального вытеснения служит уравнение

где τ’ - время пребывания в реакторе любого элементарного объема;τ - среднее время пребывания; V_c -расход смеси, υ - объем реактора.

Математическая модель - это система уравнений, которая устанавливает связь входных и выходных параметров реактора.

+ bB →cC= K· C_A^a· C_B^b

В нашем случае скорость реакции в реакторе описывается уравнением:

=K(t)·a·b/(a+0,8·c)·(1-(c/K_p(t)·a·b ^0,5))²)

Для определения скорости реакции по каждому веществу для многоступенчатых химических реакций составляется стехиометрическая матрица размером m на n , где m - число стадий, n - число компонентов.

Элементы матрицы соответствуют стехиометрическим коэффициентам, причем коэффициент будет отрицательным, если вещество расходуется и положительным, если вещество образуется.

	A	B	C
I	-2	-1	2

Скорость по i - му компоненту будет представлять собой сумму компонентов i - го столбца.

_A = -2w_IB = -w_IC = 2w_ID = w_II

Математическое описание:

К этой системе необходимо добавить уравнение теплового баланса:

где  - коэффициенты адиабатического разогрева.

Модель вытеснения можно применять для технических реагентов при проектировании жидкофазных трубчатых реакторов с большим отношением, длины трубы к его диаметру. Такие реакторы широко применяются в производствах органических веществ. K режиму вытеснения относят по газовой фазе полочные контактные аппараты с фильтрующими слоями катализатора, шахтные печи и конверторы.

Значительная часть применяемых в промышленности насадочных башен для взаимодействия газов с жидкостями работает при небольших скоростях газового потока и малых плотностях орошения.

.4 Синтез оптимальных тепловых систем

 наиболее традиционной постановке задача синтеза тепловых систем (TC ) формулируется следующим образом: имеются т горячих и п холодных технологических потоков, которые называют основными технологическими потоками. Для каждого из этих потоков заданы начальные температуры t_нi^г и t_нj^х, конечные температуры t_кi^г, t_кj^х и значения водяных эквивалентов (произведение расхода на удельную теплоемкость) W_i^г, W_j^х. Здесь i=l,2,...,m; j=l,2,..., n. Индексы "г" и "x" относят соответствующую величину к горячему и холодному потокам.

Необходимо определить структуру технологических связей между теплообменными аппаратами заданного типа, а также же площади поверхностей теплообмена каждого аппарата, которые обеспечивали бы заданные начальные и конечные температуры основных технологических потоков при минимально возможном значении приведенных технологических затрат З_пр, связанных с эксплуатацией синтезируемой TC.

Для решения задачи синтезируемую TC разделяют на две подсистемы: внутреннюю (рекуперативную), где и в теплообмене участвуют только основные технологические потоки;

внешнюю, где при теплообмене используется вспомогательные теплоносители (вспомогательные технологические потоки) и вспомогательные теплообменники, осуществляющие теплообмен между основными и вспомогательными технологическими потоками.

При этом внешняя подсистема используется только тогда, когда во внутренней подсистеме не удается получить заданные конечные температуры.

Приведенные технологические затраты, связанные с эксплуатацией синтезируемой TC, могут быть выражены следующим образом:

З_пр = Е_н(З₁ + З₂) + З₃

З₁ - затраты на рекуперативные теплообменники, руб;

З₂ - затраты на вспомогательные теплообменники, руб;

З₃ - затраты на вспомогательные теплоносители, руб;

Е_н - нормативный коэффициент эффективности (E_н = 0,12).

Если во внутренней подсистеме используются К₁ теплообменных аппаратов, а во внешней - l₁ , то:

При расчете стоимости i - го теплообменника любой подсистемы в данной работе используется зависимость

где F - площадь поверхности теплообмена соответствующего i - го теплообменника, м²

а - стоимостной коэффициент, зависящий от типа теплообменника. Затраты на вспомогательные теплоносители определяются по формуле:

Где Ө - продолжительность годовой эксплуатации системы ч/год;

Ц_р - стоимость i - го вспомогательного теплоносителя,

G_pl - расходу- го вспомогательного теплоносителя в l - м вспомогательном теплообменнике, кг/ч.

При синтезе TC используются формулы:

где Q - тепловая нагрузка теплообменника; k- соответствующий коэффициент теплопередачи.

Средняя разность температур для теплообменника:

где ∆t_б и ∆t_м - разности температур на концах теплообменника.

Тепловая нагрузка теплообменника, или количество тепла, переданное в одном аппарате, определяется на основе концепции передачи максимально возможного тепла при минимально допустимой разности температур на концах теплообменника ∆t_min

Если (t_н^г - t_н^х - ∆t_min)<0, то теплообмен невозможен.

Если t_к^г - t_н^х<∆t_min , то t_к^г = t_н^х + ∆t_min , иначе t_к^г = t_к^г

Если t_н^г - t_к^х< ∆t_min, то t_к^х = t_н^г - ∆t_min , иначе t_к^х = t_к^х.

_x = W_x (t_к^х - t_н^х)

Q_г = W_г (t_н^г - t_к^г)

Q = min (Q_х,Q_г)

t_к^х = t_н^х - Q/W_х

t_к^г = t_н^г - Q/W_г

Задача синтеза TC решается путем формирования множества возможных комбинаций исходных горячих и холодных потоков для проведения физически реализуемых операций теплообмена в теплообменном аппарате. Для этой цели строят таблицу пар взаимодействующих потоков исходя из условия Q → max. Из таблицы пар выбирается пара потоков, вступающих во взаимный теплообмен. Если в результате теплообмена данные потоки достигли заданных конечных температур, то они исключаются из рассмотрения. Иначе, начальным температурам этих потоков присваиваются значения конечных температур результирующих потоков, после чего таблица пар перестраивается, и выбирается новая пара потоков. Данная операция производится до тех пор, пока не останется потоков, способных вступать во взаимный теплообмен, или все потоки достигнут требуемых конечных температур.

При необходимости для достижения заданных конечных температур в теплообменных системах используются вспомогательные тепло - и хладагенты.

Таким образом, задача синтеза является многоэтапной задачей, в которой на каждом этапе осуществляется выбор пары потоков, вступающих во взаимный теплообмен.

2. Расчетная часть

2.1 Расчет значений K_{0 и} E в уравнении Аррениуса с использованием метода наименьших квадратов

Для расчета значений K₀ и E в уравнении Аррениуса

использован метод наименьших квадратов. Вычисления проведены в Microsoft Excel:

Таблица 2.1 Зависимость константы скорости от температуры

Т, К	Кэксп, 1/˚С	Красч, 1/˚С
673	0,06	0,261648717
683	0,12	0,325036824
693	0,24	0,401261511
703	0,47	0,492401602
713	0,89	0,600783433
753	1,18	1,262885868
763	1,74	1,502241748
803	2,8	2,880508702

Были получены значения К₀ =712085 и Е = 82914,21.

B соответствии с полученными данными уравнение Аррениуса имеет вид:

К = 712085 · exp(82914,21/RT)

.2 Расчет статистической модели абсорбера методом Брандона

Влияющие факторы:

Т_вх - температура на входе в абсорбер, ˚C

ρ - плотность орошения, м³/м²

Ѵ-объем, м³

Выходные параметры:

Т_вых - температура на выходе из абсорбера, ˚C

y - степень абсорбции, %.

На подготовительном этапе была создана таблица с экспериментальными данными (приложение 2).

Первый этап. Ранжирование влияющих факторов.

а). Построение матрицы коэффициентов парной корреляции.

Элементами матрицы являются коэффициенты парной корреляции, которые определяются с помощью надстройки Пакет анализа (на примере расчета Т_вых).

Таблица 2.2

	TВХ	R	V	Tвых
TВХ	1	-0,10482	0,026427	0,372041
R	-0,10482	1	0,025241	-0,45516
V	0,026427	0,025241	1	-0,82599
Tвых	0,372041	-0,45516	-0,82599	1

Далее вычисляются частные коэффициенты множественной корреляции. Для этого копируем матрицу коэффициентов корреляции и удаляем одну строку и столбец. Например, для вычисления D₁₁ следует удалить первую строку и первый столбец.

1	0,025241	-0,45516
0,025241	1	-0,82599		D11	0,12891323
-0,45516	-0,82599	1

Аналогично рассчитываем:

D22	0,162389
D33	0,678925
D44	0,987538
D41	0,347805
D42	0,392464
D43	-0,81498

Частные коэффициенты множественной корреляции рассчитываются по формуле (1.7). Сведем вычисления в таблицу (2.3)

Таблица 2.3

Выходные параметры	Влияющие факторы
	ρ	V	Твх
Т вых	0,98004	-0,99531	0,974789
y	-0,92846	0,990656	-0,99492

В соответствии с убыванием величины коэффициентов корреляции определяем порядок расположения влияющих факторов в уравнении (1.6).

V	-0,99531
ρ	0,98004
TВХ	0,974789

Таблица2.4 Экспериментальные и расчетные данные для построения статистической модели абсорбера для Т_вых

№	Твх, ˚C	ρ, м3/м2	V,м3	Твых ˚C	ƒ(V)	ƒ(ρ)	ƒ(Твх)	Твых, расчетное
1	170	13	22	69,4	1,0172	1,013997	1,0139	75,46654
2	180	14	25	61,9	0,9977	1,010455	1,0179	68,93587
3	170	13	30	52,5	0,9652	1,013997	1,0139	57,65268
4	160	18	21	64	0,996407	1,0099	70,24999
5	188	17	27	55,4	0,9847	0,9999	1,0211	62,00532
6	200	16	24	64,3	1,0042	1,003406	1,0259	71,44887
7	210	19	22	67,4	1,0172	0,992925	1,0299	73,6098
8	150	20	25	51,7	0,9977	0,989456	1,0059	57,88279
9	174	21	26	52,2	0,9912	0,985999	1,0155	57,70487
10	182	21	26	53,1	0,9912	0,985999	1,0187	58,74697
11	190	21	26	54	0,9912	0,985999	1,0219	59,78907
12	170	18	26	54,1	0,9912	0,996407	1,0139	60,66901
13	160	17	29	48,7	0,9717	0,9999	1,0099	53,95656
14	170	15	24	61,5	1,0042	1,006924	1,0139	68,61339
15	180	15	24	62,9	1,0042	1,006924	1,0179	69,96111
16	190	15	24	64,2	1,0042	1,006924	1,0219	71,30883
17	210	15	24	66,9	1,0042	1,006924	1,0299	74,00427
18	225	16	22	72,9	1,0172	1,003406	1,0359	79,30897
19	210	18	29	53,4	0,9717	0,996407	1,0299	59,26662
20	150	18	19	68,3	1,0367	0,996407	1,0059	73,23213
21	186	14	25	62,7	0,9977	1,010455	1,0203	69,74209
22	190	14	25	63,2	0,9977	1,010455	1,0219	70,27956

Второй этап. Выбор зависимостей выходных параметров от влияющих факторов.

Строим график зависимости T_вых / T_вых(ср) от ρ, добавим несколько линий тренда, найдем вид зависимости и искомые коэффициенты для ρ.

Рис.2.2 График зависимости от ρ и линии тренда.

Выбираем зависимость с наибольшим значением R²: T_вых (V)= -0.0065·V+1.1602

Далее делим T _вых/T_вых(ср) на T (V). Построим график полученной функции от ρ. Далее все аналогично.

Вид зависимостей:

_вых (ρ) =1,0612·e^-0,0035ρ

T_вых (T_вх) = 0,0004· T_вх+0.8367

Для y все операции аналогичны.

Таким образом, полученная экспериментально-статистическая модель имеет следующий

Вид (уравнение (1.9)):

Т_вых = 333,2136· (-0.0065·V+1.1602)·( 1,0612·e^-0,0035ρ)·( 0,0004· T_вх+0.8367)

y = 91,56864·(2,9903·е^{-0,0024Твх})·(0,7408·е^0,0121V)·(0,0089·ρ+0,8572)

Таблица 2.5 Экспериментальные и расчетные данные для построения статистической модели абсорбера для у

№	Твх, ˚C	ρ, м3/м2	V,м3	y	ƒ(Твх)	ƒ(V)	ƒ(ρ)	y, расчетное
1	170	13	22	89,5	1,032697	0,966741	0,9729	88,94018
2	180	14	25	91,3	1,008207	1,002478	0,9818	90,86458
3	170	13	30	99,5	1,032697	1,065001	0,9729	97,98006
4	160	18	21	92,5	1,057781	0,955114	1,0174	94,12167
5	188	17	27	93,5	0,989034	1,027034	1,0085	93,80349
6	200	16	24	86,5	0,960956	0,990422	0,9996	87,11576
7	210	19	22	83,5	0,938168	0,966741	1,0263	85,2338
8	150	20	25	99,85	1,083475	1,002478	1,0352	102,9592
9	174	21	26	96,9	1,02283	1,014682	1,0441	99,22532
10	182	21	26	95	1,003379	1,014682	1,0441	97,33836
11	190	21	26	93,5	0,984298	1,014682	1,0441	95,4873
12	170	18	26	96,5	1,032697	1,014682	1,0174	97,62058
13	160	17	29	99,96	1,057781	1,052192	1,0085	102,7812
14	170	15	24	92,6	1,032697	0,990422	0,9907	92,78588
15	180	15	24	90,5	1,008207	0,990422	0,9907	90,58552
16	190	15	24	88,4	0,984298	0,990422	0,9907	88,43735
17	210	15	24	83,8	0,938168	0,990422	0,9907	84,29263
18	225	16	22	78,2	0,904995	0,966741	0,9996
19	210	18	29	91,4	0,938168	1,052192	1,0174	91,96318
20	150	18	19	92,4	1,083475	0,932278	1,0174	94,10285
21	186	14	25	90	0,993793	1,002478	0,9818	89,56551
22	190	14	25	89,2	0,984298	1,002478	0,9818	88,70979

Третий этап. Проверка адекватности модели.

По формуле (1.9) определяем расчетные значения и сравниваем их с экспериментальными (см. таблицы 2.4 и 2.5). Для оценки точности аппроксимации найденных зависимостей вычислены корреляционные отношения η и средние относительные ошибки ε:

Таблица 2.6

Выходные параметры	η	ε
Т вых	0,337906	1,896925
y	0,959418	1,291

Таким образом, построенные статистические модели хорошо описывают экспериментальные данные.

2.3     Расчет абсорберов и реакторов идеального вытеснения

 основании полученных ранее расчетных зависимостей константы скорости и заданной константы равновесия от температуры проведены расчеты реакторов в MathCAD и Microsoft Excel. B результате были получены температуры, расходы и концентрации компонентов на выходе из реакторов.

Таблица 2.7 Характеристики реактора идеального вытеснения

Для абсорберов также были рассчитаны температуры на выходе и с учетом степени абсорбции найденной по формуле (1.9), вычислены концентрации компонентов A, B и C.

Таблица 2.8 Характеристики абсорбера

2.4     Синтез системы теплообмена

Таблица 2.9 Исходные данные для проектирования тепловой системы

Значения водяного эквивалента W рассчитывают по формуле:

 = G C _р

где G - расход смеси, С _р - удельная теплоемкость.

Таблица 2.10 Таблица пар исходных потоков (I этап синтеза)

В данной работе заданы две эвристики, следовательно, интервал от 0 до 1 разбивается на два равных. Выбираем наугад псевдослучайное число А, которое указывает интервал, а следовательно, и соответственное эвристическое правило, с помощью которого осуществляется данный этап синтеза. А=0,2881, а значит, на основании 1 эвристики выбраны 2-й холодный и 1-й горячий потоки, так как они имеют наибольшую начальную температуру.

Возможные комбинации теплообмена на втором этапе синтеза приведены в таблице 2.11

Таблица2.11 Таблица пар результирующих и исходных потоков (II этап синтеза)

Холодные			Горячие			Стоимость ус.ден. ед.
Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К	Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К
1	318	576,5	1	722	453	72362,9006
1	318	326,9	2	683,02	673	5489,7959
1	318	507,5	3	673,02	458	57135,6132
2	339,6	629,7	1	722	453	87332,3364
3	339,6	349,6	1	683,02	673	5705,75803
3	339,6	552,3	2	673,01	458	66092,5175
3	318	576,5	3	722	453	72362,9006

А=0,9525, следовательно, 2 эвристика, согласно которой выбираются потоки: 3-й холодный и 1-й горячий, так как они обеспечивают максимальное количество передаваемого тепла.

Таблица 2.12 Таблица пар результирующих и исходных потоков (III этап синтеза)

Холодные			Горячие			Стоимость ус.ден. ед.
Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К	Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К
1	318	326,9	2	683,02	673	5489,7959
1	318	507,5	3	673,02	458	57135,6132
3	629,7	639,7	2	683,02	673	19415,6906
3	629,7	652,8	3	673,01	649,7	50757,2288

А=0,1802, значит эвристика номер 1. Выбираем 3-й холодный и 2-й горячий потоки так как они имеют наибольшую начальную температуру.

Таблица 2.13

Холодные			Горячие			Стоимость ус.ден. ед.
Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К	Номер потока	Начальная температура К	Конечная температура К
1	318	507,5	3	673,01	458	57135,6132
3	639,7	683	3	673,01	659,7	36338,8851

Таблица пар результирующих и исходных потоков (IV этап синтеза)

А=0,5672, 2 эвристика. Выбираем 1-й холодный и 3-й горячий потоки, так как они обеспечивают максимальное количество передаваемого тепла.

B результате синтеза тепловой системы все 3 горячих потока достигли заданной конечной температуры, поэтому холодные потоки паром догревают до заданной конечной температуры.

Таким образом, тепловая схема имеет следующий вид:

Рассчитаем расход пара для нагрева 1-го холодного потока до заданной температуры:

_п =Q _н / r ,

где Q _н - тепловая нагрузка, r - теплота конденсации насыщенного водяного пара.

_п1=50,66028·(698-507,5)/(520·4,1868)= 4,432577кг/с = 15957,28 кг/ч

Поверхность нагревателя:

F₁=  м²

Стоимость нагревателя:

Ц_н1=483·F₁^0,6=483·3691,28161^0,6=66719,6006 ус.ден. ед.

Рассчитаем расход пара для нагрева 2-го холодного потока до заданной температуры:

Для нагрева этого потока берем температуру пара равную 490⁰С, потому что тепло передается от более нагретого тела к менее нагретому. Но, в тоже время, стоимость пара не должна быть очень велика.

_п2=49,224138·(753-733)/(520 ·4,1868)= 0,45217 кг/с = 1627,812 кг/ч

Поверхность нагревателя:

₂=  м²

Стоимость нагревателя:

Ц_н2=483·F₂^0,6=483·2115,0752^0,6=47768,6116 ус.ден. ед.

Рассчитаем расход пара для нагрева 3-го холодного потока до заданной температуры:

_п3=45,133704·(683-639,6)/(520 ·4,1868)= 0,899672кг/с = 3238,821 кг/ч

Поверхность нагревателя:

F₃=  м²

Стоимость нагревателя:

Ц_н3=483·F ₃^0.6=483·403,04375^0.6=32322,3385 ус.ден. ед.

Приведенные затраты синтезированной системы:

З_пр = 0,12(Ц ₁+Ц ₂+Ц ₃+Ц ₄+Ц _н1+Ц _н2+Ц _н3)+8800*(G _п1+G_п2+G _п3)*0,005

З_пр=0,12·(64060,486+87331,387+19298,498+57134,145+66719,6006+47768,6116+ 32322,3385)+8800·0,005·(15957,28+1627,812+3238,821) = 961208,2 ус.ден.ед.

Выводы

 курсовой работе проведена обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов, в результате которой были получены расчетные зависимости константы скорости от температуры К = 712085 · exp(82914,21/RT). C помощью метода Брандона осуществили построение модели абсорбера

Т_вых = 333,2136· (-0.0065·V+1.1602)·( 1,0612·e^-0,0035ρ)·( 0,0004· T_вх+0.8367)

y = 91,56864·(2,9903·е^{-0,0024Твх})·(0,7408·е^0,0121V)·(0,0089·ρ+0,8572)

Используя полученные данные, рассчитали входные и выходные расходы, температуры и концентрации в реакторах и абсорберах (таблица 2.6) . Ha основании этих расчетов синтезировали теплообменную систему, которая состоит из внутренней и внешней систем.

Список использованных источников

1. Мухленов И.П. Химико-технологические системы. Синтез, оптимизация и управление.-Л.: Химия, 1986 - 444 с.

2. Саутин C.H., Иванова E.H., Петрик Ф.Ц., Князьков B.M. Составление экспериментально-статистических моделей по методу Брандона.

3. Методические указания/ СПбГТИ- СПб, 1988-24 с.

4. Мухленов И.П Общая химическая технология. B 2 т. - T. 2, M.; Высшая школа, 1984 г.

5. Кузичкин H.B., Саутин C.H., Холоднов B.A., Хартманн K. Синтез оптимальных тепловых систем. Методические указания/ СПбГТИ- СПб₅ 1985-19c.

 

Приложение 1

Зависимость константы скорости от температуры

t, °C	k,1/c
400	0,06
410	0,12
420	0,24
430	0,47
440	0,89
480	1,18
490	1,74
530	2,80

Приложение 2

 

Экспериментальные данные по работе абсорберов

Номер Опыта	Твх, ˚С	Плотность орошения, м3/м2	Объем абсорбера, м3	Твых, ˚С	Степень абсорбции, %
1	170	13	22	69,4	89,5
2	180	14	25	61,9	91,30
3	170	13	30	52,5	99,5
4	160	18	21	64,0	92,5
5	188	17	27	55,4	93,5
6	200	16	24	64,3	86,5
7	210	19	22	67,4	83,5
8	150	20	25	51,7	99,85
9	174	21	26	52,2	96,9
10	182	21	26	53,1	95,00
11	190	21	26	54,0	93,5
12	170	18	26	54,1	96,5
13	160	17	29	48,7	99,96
14	170	15	24	61,5	92,6
15	180	15	24	62,9	90,5
16	190	15	24	64,2	88,4
17	15	24	66,9	83,8
18	225	16	22	72,9	78,2
19	210	18	29	53,4	91,4
20	150	18	19	68,3	92,4
21	186	14	25	62,7	90,0
22	190	14	25	63,2	89,2