Материал: pPhIjEsAOh
ɺ |
|
iβH |
|
′ |
H |
−iβ |
H |
z |
|
|
|||
Hr = − |
k H |
H0 Jm (kt r )cos(mφ)e |
|
|
|
|
; |
|
|||||
|
|
t |
|
|
Jm (ktH r ) |
|
|
|
|
|
|
||
ɺ |
iβH |
|
|
|
−iβH z |
|
|||||||
Hφ = |
k H |
mH0 |
|
|
sin (mφ)e |
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
k H r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Hɺz = H0Jm (ktH r )cos(mφ)e−iβH z . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
В отличие от прямоугольного волновода в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни
функций Бесселя (νmn), |
а для магнитных – через корни производных функ- |
|||||||||
ций Бесселя (χmn): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k E = |
νmn |
; k H |
= |
χmn |
, m = 0; 1; 2;..., |
n = 1; 2; 3;... . |
||||
|
|
|||||||||
|
t |
a |
|
t |
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Значения первых трех корней функций Бесселя и корней их производ- |
||||||||||
ных приведены в табл. 1 и 2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер корня νmn (n) |
|
|
m = 0 |
|
|
m = 1 |
|
m = 2 |
||
1 |
|
|
|
2.405 |
|
3.832 |
|
5.135 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
5.520 |
|
7.016 |
|
8.417 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
8.654 |
|
10.173 |
|
11.620 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Номер корня χmn (n) |
|
|
m = 0 |
|
|
m = 1 |
|
m = 2 |
||
1 |
|
|
|
3.832 |
|
1.840 |
|
3.054 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
7.016 |
|
5.335 |
|
6.705 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
10.174 |
|
8.536 |
|
9.965 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл индексов m и n, входящих в обозначение соб-
ственных мод круглого волновода. Индекс m входит в качестве постоянно-
го коэффициента в аргументы функций cos(mϕ) и sin(mϕ), определяющих за-
висимость составляющих векторов Е и H собственных волн волновода от пространственной переменной ϕ. Для выяснения общих закономерностей,
определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициента m, достаточно рассмотреть одну из данных функций, например cos(mϕ).
11
При m = 0 имеем cos(0 ϕ) = 1 и рассматриваемая составляющая не зави-
сит от угла ϕ (силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).
При m = 1 зависимость от угла ϕ определяется функцией cos ϕ. В этом случае во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра ϕ = ± (π/2) будут находиться узлы (нулевые значения) указанной составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». При m = 2 зависимость рассматриваемой
составляющей от пространственной переменной ϕ определяется функцией cos 2ϕ и узловых диаметров будет два: ϕ = ± (π/4) и ϕ = ± (3π/4)); при m = 3 –
три и т. д.
Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода и показывает, какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.
Индекс n опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода от пространственной переменной r. Величина n дает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной r от 0 до a.
Следовательно, величина n определяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторов E и H, укладывающихся вдоль радиуса волновода.
При n = 1 узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (n – 1) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов E и H собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).
На рис. 6 приведены силовые линии векторов E и H для основной моды круглого волновода H11.
Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов E и H в поперечном сечении круглого волновода. Знакомство с узло-
выми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторов E и H:
12
1)в соответствии со значениями индексов m и n в поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;
2)вдоль полученных «направляющих» наносят-
ся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;
3)перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;
4)если силовые линии вектора E выходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;
5)если силовые линии вектора H проходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.
A A
Рис. 6. Силовые линии векторов E и
H для волны H11
1.3.Распространение электромагнитной волны
вкоаксиальном волноводе
Коаксиальная линия передачи состоит из круглого цилиндрического стержня, соосного с круглой цилиндрической оболочкой (см. рис. 3). Электромагнитные волны распространяются в пространстве между наружным и внутренним проводниками, заполненном диэлектриком. Радиус наружного проводника обозначим как a, внутреннего – как b (рис. 7). При анализе волн, распространяющихся внутри этой волноводной структуры, как и в случае круглого волновода, удобно использовать цилиндрическую систему координат ввиду ее аксиальной симметрии.
Так как коаксиальный волновод является двухсвязной линией передачи, в нем наряду с Е- и Н-волнами возможно распространение Т-волны. Т-Мода является волной бездисперсионного типа, для которой λкр = ∞ и λв = λ0.
13
2b
φ r
2а
Рис. 7. Поперечное сечение коаксиальной линии
Составляющие векторов поля Т-волны в коаксиальном волноводе имеют следующий вид:
ɺ |
= |
|
Aɺ |
−iβz |
; |
|
|
|
|
||||
E |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Eɺϕ = Eɺz = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ɺ |
|
|
|
|
ε0εr |
|
|
|
Aɺ |
−iβz |
|
||
Hϕ = |
|
|
μ0μr |
|
|
|
|
e |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||
Hɺr = Hɺz = 0.
Исходные выражения для компонент полей дисперсионного типа (Е-вол- ны, Н-волны) в коаксиальной линии передачи совпадают с выражениями для круглого волновода. Общие выражения для составляющих векторов E и H
имеют следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
магнитные волны |
|
|
электрические волны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eɺr = − |
1 |
|
iωμ0μr |
|
|
∂Hɺz |
; |
Eɺ = − |
|
|
iβE |
|
|
|
|
|
∂Eɺz |
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(kt |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
kt2 |
|
r |
∂ϕ |
r |
|
|
2 |
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ɺ |
|
iωμ0μr |
|
∂Hɺz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Eϕ = |
|
|
|
kt2 |
|
|
|
|
∂r |
|
; |
|
|
|
|
Eɺ |
= − |
i βE |
|
|
|
|
1 |
|
∂Hɺz |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
iβH |
|
|
|
∂Hɺz |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
(ktE )2 r ∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Hɺr = − |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iωε0εr |
|
∂Eɺz |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(ktH )2 ∂r |
|
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hr = |
(ktE ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
∂ϕ |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
iβ |
H |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ɺ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Hɺϕ = − |
|
|
|
|
|
|
|
∂H z |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(ktH )2 r ∂ϕ |
|
Hɺϕ = − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
iωε0εr |
∂Eɺz |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(ktE ) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Eɺz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Hɺz = 0.
Однако в отличие от круглого волновода, рассмотренного ранее, область r ≤ b, содержащая точку r = 0, из рассмотрения исключается, так как она за-
нята внутренним проводником. Поэтому решение уравнения (4) в виде (5), определяющем продольные составляющие Hz и Ez, следует искать в виде
14
Hɺz = Aɺm Jm (ktH r ) + Bɺm Nm (ktH a) cos(mϕ)e−iβH z ;
(6)
Eɺz = Aɺm Jm (ktEr )+ Bɺm Nm (ktE a) cos(mϕ)e−iβE z ,
где m = 0, 1, 2, 3, …
Для магнитных волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии имеют вид
∂Hɺz |
|
r =a;b = 0 . |
(7) |
|
|||
∂r |
|
||
|
|
|
Подставив выражение для Hz из (6) в уравнение (7), получим систему уравнений:
m |
m ( |
t |
) |
m |
m ( |
t |
|
) |
= 0; |
Aɺ |
J ′ |
k H a |
) |
+ Bɺ |
N ′ |
k H a |
|
||
m |
m ( |
t |
m |
m ( |
t |
) |
= 0. |
||
Aɺ |
J ′ |
k H b |
|
+ Bɺ |
N ′ |
k H b |
|
|
|
Отсюда следует, что
m ( t |
|
) |
|
N ′ |
k H a |
|
|
m ( |
t |
) |
|
J ′ |
k H a |
|
|
|
m ( t |
|
) |
|
|
|
= |
N ′ |
k H b |
|
|
|
|
m ( |
t |
) |
, m = 0; 1; 2; … . |
(8) |
||
J ′ |
k H b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Для электрических волн граничные условия на идеально проводящих поверхностях коаксиальной линии примут вид
Eɺz r =a; b = 0,
где a и b – радиусы внешнего и внутреннего проводников (см. рис. 8). Отсюда следует, что
Aɺm Jm (ktE a)+ Bɺm Nm (ktE a) = 0; Aɺm Jm (ktEb)+ Bɺm Nm (ktEb) = 0
или
Nm (ktE a) |
= |
Nm (ktEb) |
|
|
Jm (ktE a) |
Jm (ktEb) |
, m = 0; 1; 2; … . |
(9) |
|
Для расчета поперечных составляющих электромагнитного поля в коаксиальной линии необходимо решить уравнение (8) или (9) в зависимости от типа поля. Решением данных уравнений является поперечное волновое число
15