Материал: Панков Пособие по ТВиМС часть 2

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Получаем, что t1 - квантиль стандартного нормального распределения

уровня			1	, что обозначается как t		t		, а t		- уровня 1	1	, т. е. уровня
уровня				, что обозначается как t		t	1	, а t	2	- уровня 1		, т. е. уровня
			2		1		1		2	2
			2				2			2
							2
	1	: t2 t1 .
2		: t2 t1 .
2			2
			2
	Эти		квантили для конкретных			значений				находятся по таблицам

математической статистики, обычно находящимся в конце пособий по математической статистике или в отдельных сборниках.

Обозначим 1 , тогда t1 t /2 t /2 и в силу симметричности плотности стандартного нормального распределения t2 t /2 t /2 .

x t /2

P t /2

P x tn/2





		t
		t
			/2	1 .

x
x
		n
		n




	2

Тогда 1; 2 - искомый доверительный интервал.

Заметим, что на практике представляет интерес поиск доверительных интервалов, наименьших по длине 2 1 . В данном случае мы нашли именно

наименьший.

2) Рассмотрим случай выборки из нормального распределения с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией: N a, .

Рассмотрим статистику

S02

xi a

i 1

Функция

равна сумме квадратов независимых случайных

i 1

величин, имеющих стандартное нормальное распределение.

Следовательно,

функция

nS02

имеет хи-квадрат распределение с n

степенями свободы:

nS2

n2 .

Очевидно, что

nS02

является центральной статистикой.

2 1

nS0

n dt

P t1

Рассмотрим график плотности хи-квадрат распределения:

Пусть площадь закрашенной области на графике																		равна , тогда сумма
площадей		S1 S2 равна							1 .		Удобно		выбрать,					как			и в			предыдущем
примере, что											S2 / 2 .
										S1	S2 / 2 .
Получаем, что t1 - квантиль хи-квадрат распределения с																								n	степенями
свободы уровня / 2,							что обозначается как t						2				, а t		2	-	уровня				1 / 2 , т.
											1			n; /2					2
е. t2 n2;1 /2 .
				2
	2		nS0			2
P	n; /2
P

					n;1 /2

					1					1
					1					1

		P			2					2
					2			nS2		2
					n;1 /2				0
					n;1 /2				0	n; /2



																	2						2
																	2						2
															nS0							nS0
															nS0							nS0			1 .


												P				2							2
																2							2
																n;1 /2
																n;1 /2						n; /2



																1							2

Тогда 1;				2 - искомый доверительный интервал.

Но в данном случае он не является наименьшим по длине.

3) Теперь рассмотрим случай выборки из общей нормальной модели, т.е. из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией: N 1, 2 .

Чтобы построить доверительный интервал для дисперсии 2 , будем

действовать аналогично примеру 2, но используя другую центральную статистику.

Согласно теореме Фишера,

nS2 2 .

2 n 1

Проводя аналогичные предыдущему примеру рассуждения, получаем:

t	2		,
1	n 1, /2
t2	2	,
	n 1,1	2
		2




					2			2
				nS	2	nS		2
				nS		nS
									1
			P	2			2		1
				2			2
				n 1;1 /2			n 1; /2
				n 1;1 /2			n 1; /2



				1,2			2,2
				1,2			2,2

Тогда 1,2; 2,2 - -доверительный интервал для параметра 2 .

Для того чтобы построить доверительный интервал для математического ожидания 1 , сформулируем сперва утверждение.

Утверждение (соотношение Стьюдента – без доказательства). Пусть случайные величины и независимы и имеют следующие распределения:

N 0,1 , k2 .

степенями свободы, что обозначается как

stk .

/ k

Из теоремы Фишера следует, что

N 0,1 ,

1 и эти величины

/ n

независимы. Следовательно,

x 1

nS / 2

x 1

n 1

stn 1 .

n 1

/ n

Очевидно, что функция

n 1 x 1

является центральной статистикой. Проводя рассуждения, аналогичные проделанным ранее, получаем, что верно равенство

x 1

P t

n 1

t2
	n / 2						1/2
							n 1
		n 1 / 2					n 1
t1
				2	n/2
		t		2
		t
1						dt 1

		n
		n	1

Рассмотрим график распределения Стьюдента:

Как и в предыдущих пунктах полезно выбрать в качестве t1 и t2 квантили

распределения Стьюдента уровня

соответственно, что обозначается

как

t1 stn 1; /2 , t2

stn 1;1 /2 .

P st

n 1

n 1; /2

n 1;1 /2

n 1; /2

n 1;1 /2

n 1

P x

n 1

n 1; /2

n 1;1

1,1

2,1

- искомый -доверительный интервал для параметра 1 .

Тогда 1,1; 2,1

Использование центральной статистики не является единственным способом построения доверительных интервалов. Рассмотрим в качестве примера еще один из способов.

Пример (построение доверительного интервала для дискретной модели с

помощью неравенства Чебышева).
Рассмотрим		случай	выборки	x1,...,xn из		распределения Бернулли		с
неизвестной вероятностью успеха					0,1 : Bi 1,		.

Пусть	0,1 -		заданная	доверительная		вероятность. Построим		-

доверительный интервал для неизвестного параметра .

Известно, что E		E и D		D	1	.
	x		x

				n	n

Согласно классической форме неравенства Чебышева для любого 0 выполняется P x Ex Dx / 2 .

Подставим в эту формулу найденные выше значения:

Px 1 / 2n ,

1P x 1 1 / 2n ,

P x 1 1 / 2n ,

P x x 1 1 / 2n .

																	4
	Так		как для				любого						0,1		выражение	1	1	, то
	Так		как для				любого						0,1		выражение	1		, то
P					1		1		.
	x			x			1
	x			x			2
						4 n
	Подберем 0 так, чтобы правая часть неравенства была равна :
	1	1	1 , 2					1		,	1			0.
	1	4 2n	1 , 2					4n		,				0.
		4 2n						4n			2	n

Получили, что

P x 21n

x 2 1n .

Следовательно, случайный интервал 1, 2 накрывает неизвестный

параметр с вероятностью не меньшей, чем , и мы можем его рассматривать в качестве искомого -доверительного интервала.

Источник: https://studfile.net/preview/16534730/

Тогда случайная величина

имеет распределение Стьюдента с





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)