Документ: Панков Пособие по ТВиМС часть 2, страницы 31-35

														2			2			n a1 a0									xj
										n a1					a0					n a1 a0									xj

exp																															.
exp																	2									2					.
														2					j 1
														2					j 1

Неравенство T x1,...,xn C , где C 0, равносильно неравенству
			n																					2					2
						a1 a0 xj														n				2					2
						a1 a0 xj														n		a1			a0
																																,
exp																	C exp
exp												2					C exp										2
												2												2			2
	j 1																							2



	a		1	a			0			n									n a12 a02
			1				0	xj							lnC															,
					2			xj							lnC						2			2						,
									j 1												2
																			2					2
										2								n a1 a0
										2								n a1 a0
																													,
		nx													lnC
		nx													lnC							2
							a1 a0													2
							a1 a0													2

																			2						2
									2										n a1			a0
									2										n a1			a0

x																lnC							2						.
									1
									1		a			0							2
						n a					a										2

Обозначим величину, стоящую													в			правой части												неравенства, через C1 и

получим, что наиболее мощный критерий определяется следующим образом:

- если x C1			, то принимаем	гипотезу H0 , т. е. a a0 ,
- если		C1	, то принимаем гипотезу H1 , т. е. a a1 .
	x

Вычислим вероятности ошибок первого и второго рода наиболее мощного

критерия. Пусть верна гипотеза H0 , т. е.

x1,...,xn - выборка из N(a0, 2). Тогда

x

1 xj N(a0,

),

N(0,1).

2

x a0

n

n j 1

n

/ n

Тогда

P H1 | H0 P

C1 | H0

x

a

n C

x a

C

a

0

P

0

1

0

,

| H

0

1 Ф

n

/

n

/

где Ф x - функция распределения стандартного нормального закона.

Аналогично определяем

P H0 | H1 P x C1 | H1 Ф n C1 a1 .

Из заданного уровня значимости можно найти значение C1 :

1

0

1

a

0

a

n C

,

t ,

1 Ф

1

где t1

- квантиль стандартного нормального распределения уровня 1 ;

C

t1

a .

1 0

n

31

2. Пусть x1,...,xn – выборка из нормального распределения с известным математическим ожиданием и неизвестной дисперсией: N a 2 , где a -

известно, 2 - неизвестно.

H0 2 02 , H1 2 12 .

Пусть при этом 2			2 .
		0		1
Для	статистики		T x1,...,xn									наиболее													мощного											критерия имеет место
равенство																																							2
													n												j			2						j					2
																									j									j
																		n						x a									x a
																		n						x a									x a
											0
						n
	T x			,...,x											exp											2											2
		1																							2	2									2		2
																				1					2	0									2
											1							j		1						0										1


									0	n								2					2		n							2
									0								1 0
												exp														x	j	a						.
												exp								2			2			x		a						.
																				2			2
																	2 1 0								j 1
									1								2 1 0								j 1
Если	T x1,...,xn C				-			принимаем												гипотезу										H0				,		если				T x1,...,xn C -
отвергаем. Логарифмируя и упрощая неравенство T x1,...,xn C , получаем
				n						2							2		2												1
															2 0			1													1								.
							j																															1
					x			a													lnC n ln															C
				j 1
				j 1										1 0																	0
Тогда наиболее мощный критерий имеет вид:
	n
- если xj a 2		С1 , то принимаем гипотезуH0																											, т. е. 2										02 ;
	j 1
	n
- если xj a 2		С1 ,			то отвергаем гипотезу H0 , т. е. 2																																	12 .
	j 1
Если верна гипотеза H0							и так как									xj		a				N 0,1 , то
Если верна гипотеза H0							и так как															N 0,1 , то
																	0
													n								2
															xj a											2
																								.
																								.
																										n
											j 1								0
																			0

Тогда

где F n2 x

n

2

a

P H1

| H0

C1

| H0

P xj

j 1

n

2

a / 0

2

,

C

| H

P xj

1 / 0

0

1 F 2 C1 / 0

n

j 1

n

2

a

P H0

| H1

C1

| H1

P xj

j 1

n

2

F 2 C1

2

,

| H1

P xj a / 1

C1 / 1

/ 1

n

j 1

- функция распределения случайной величины, распределенной по

закону хи-квадрат с n степенями свободы.

32

При заданном уровне значимости можно задать C1 .

Пусть 1 F 2	C	/ 2		, тогда C	1	/ 2	2	и
n	1	0			1	0	n;1

C 2 2 ,

1 0 n;1

где 2n;1 - квантиль хи-квадрат распределения с n степенями свободы уровня

1 .

Мы разобрали случай, когда требуется различить две простые гипотезы. На практике данный случай встречается редко, но он является самым простым. Методы различения сложных параметрических гипотез зачастую в своей основе имеют видоизмененный наиболее мощный критерий, т. е. рассмотренный нами критерий отношения правдоподобия.

33

Тема № 15 Проверка статистических гипотез по выборкам фиксированного объема (непараметрическая статистика)

Пусть нам неизвестен закон распределения, из которого производится выборка. В этом случае формулируется только одна основная гипотеза H0 .

Обычно рассматриваются следующие постановки задач, которые часто встречаются на практике:

1. Имеется выборка, и нас интересует вопрос, является ли она выборкой из заданного закона распределения. В этом случае основную гипотезу H0

называют гипотезой о виде распределения.

2.Имеются две выборки, и возникает вопрос, являются ли они наблюдением над одной случайной величиной или разными. В этом случае говорят о

гипотезе однородности.

3.Имеется выборка из двумерной случайной величины 1, 2 , и мы

пытаемся определить, независимы ли случайные величины 1 и 2 . В этом случае H0 - гипотеза независимости.

Во всех этих трех случаях формулируется только одна гипотеза - H0 , и

требуется проверить, согласуются ли имеющиеся статистические данные с этой гипотезой, или они ее опровергают. Соответствующие критерии именуются критериями согласия. Аналогично предыдущей теме формулируются понятия простой и сложной гипотезы: если H0 однозначно определяет распределение

наблюдаемой случайной величины, то ее называют простой, в противном случае – сложной. Из приведенных выше трех постановок задачи только в первом случае H0 может быть простой. К примеру, если основная гипотеза H0

формулируется следующим образом: «случайная величина, из которой производится выборка, имеет стандартное нормальное распределение:N 0,1 ». Если же H0 формулируется, например, как «случайная величина, из

которой производится выборка, имеет нормальное распределение», то она сложная.

Критерий согласия хи-квадрат

Пусть случайная величина , из которой производят выборку, обладает неизвестной функцией распределения: F x . Имеется выборка из нее

x1,...,xn .

Пусть основная гипотеза H0 формулируется следующим образом: случайная величина имеет некоторое фиксированное распределение с функцией распределения F0 x :

H0 : F x F0 x .

34

Наша задача – проверить, согласуется ли выборка с гипотезой H0 .

Рассмотрим три случая.
1). Пусть случайная величина принимает конечное число значений:

y1	...yN

	.
p	...p
1	N

Основная гипотеза H0

состоит в том, что выборка x1,...,xn

производится из

полиномиальной схемы с вектором вероятностей исходов

p1,...,pN ,

равным

p

фиксированному вектору

p1(0),...,pN(0) ,

где pj(0)

0

для всех j

.

p0

1,N

H0 :

.

p

p0

Рассмотрим статистику хи-квадрат (статистику 2 ):

N

(0)

2

N

2

hj npj

2

hj

n ,

(0)

np

j 1

j

j 1

np

j

n

где hj Ind xk yj -

число выборочных значений yj , т.

е. число,

равное

k 1

тому, сколько раз в выборке встретилось значение yj

, по всем j

.

1,N

Зафиксируем постоянную C 0.

Сформулируем критерий согласия хи-квадрат 2 :

-если статистика 2 C , то принимаем гипотезу H0 ;

-если статистика 2 C , то отвергаем гипотезу H0 (принимаем H0 ).

Критерий 2 характеризуется уровнем значимости, т. е. вероятностью ошибки первого рода , состоящей в том, что гипотеза H0 отвергается при условии, что она верна:

P H0 | H0 .

Для нахождения вероятности ошибки первого рода критерия 2 используется следующая теорема:

Теорема (Пирсона – без доказательства). Если верна гипотеза H0 , то

2 D 2			,
	n	N 1
где N2	1 -	случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с N 1
степенью свободы.
Отсюда,		при больших значениях n получаем следующую приближенную

формулу для вычисления вероятности ошибки первого рода критерия 2 :

P H0 | H0 P 2 C | H0

1 P 2 C | H0 1 F 2 (C),

N 1

где F 2N 1 (x) - функция распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение с N 1 степенью свободы.

35

Материал: Панков Пособие по ТВиМС часть 2

Смотрите также: