Как пишет известный исследователь в области философии математики В.Я. Перминов, "Брауэр сформулировал строгий критерий приемлемости математических суждений. Этот критерий он усмотрел в свойстве интуитивной ясности исходных математических объектов и в конструктивном введении производных объектов и их свойств. Отрицательная критика абстрактной математики, которая преобладала у Кронекера, была заменена позитивной программой представления математики на основе понятия конструктивности. Все аргументы Брауэра против классической логики прямо или косвенно связаны с этим критерием приемлемости математических суждений" [2, с. 132]. Таким образом, Брауэр довольно критично относился к классической бинарной логике, предлагая пересмотреть один из её постулатов - закон исключённого третьего.
В 40-е годы XX века в СССР также возникло направление конструктивизма-интуиционизма. А.А. Марков (1903-1979), стоявший во главе отечественной школы, "отверг идею Брауэра о математике как свободном творении человеческого ума, но сохранил допущение о потенциальной бесконечности её объектов, необходимости конечных и эффективных доказательств согласно особой конструктивной (фактически интуиционистской) логике" [4, с. 86]. Марков придерживался понятия алгорифма, то есть строгого предписания, как за конечное число шагов построить математический объект. Как отмечает Г.И. Рузавин, "понятие алгорифма применяется в математике уже давно. Ещё у Евклида мы встречаемся с алгорифмом нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел. Но это понятие скорее осознавалось интуитивно, чем определялось точно" [3, с. 264]. У Маркова же мы находим уточнение и строгое определение этого понятия.
Примерно в одно время с Марковым к идее алгоритмизации пришёл и американский математик Э. Бишоп, назвавший математику "языком высокого уровня программирования". Он же установил важное соответствие между классической и неклассической математикой: все утверждения конструктивной математики выполняются в классической, а все теоремы классической математики имеют смысл в конструктивной, если отказаться от логического закона исключённого третьего [4, с. 89]. А если мы отказываемся от закона исключённого третьего, то тем самым либо игнорируем парадоксы, либо их вовсе узакониваем.
Таким образом, конструктивизм ставил под сомнение не только идею актуальной бесконечности, но и критично относился ко всем теоремам, действующим в рамках континуума действительных чисел. Так, в математическом анализе есть теорема, носящая название Первой теоремы Больцано-Коши: если функция f x() непрерывна на отрезке [a,b], и f a()Е f b() < 0, то тогда на этом отрезке обязательно должна существовать такая точка c, что f c() = 0 . Обыденный смысл этой теоремы прост: если на некотором наблюдаемом участке местности человек сначала шёл по одной обочине дороги, а потом его увидели идущим по противоположной обочине, то это значит, что где-то, на каком-то этапе пути он эту дорогу пересёк, оказался непосредственно на ней в какой-то момент времени. Или так: пусть тело на некотором промежутке времени двигалось сначала в одном направлении, а потом стало двигаться в противоположном, но нигде не поворачивало, то есть траекторией его движения была прямая линия. Это значит, что в какой-то момент времени (при смене направления) скорость тела была равна нулю, тело останавливалось. Из этих двух примеров ясно виден физический смысл этой простой, но важной математической теоремы. Однако парадокс (неопределённость) в том, что теорема лишь предсказывает нулевое значение функции на отрезке, но ничего не говорит нам о том, где конкретно оно будет достигнуто. Да и самих функций существует бесконечно много, но в теореме указана не конкретная функция, а подразумеваются сразу все непрерывные на [a,b] функции, все, что есть. И даже простое утверждение о том, что некоторая конкретная функция f x() непрерывна в каждой точке континуума [a,b]‚R, с конструктивистской точки зрения, лишено смысла. За эти неопределённости справедливо и ухватились конструктивисты, указав на них учёным от классической математики.
На нечто подобное указывает и известный исследователь в области истории, философии и методологии математики Ю.И. Манин: "Рассмотрим такое просто формулируемое утверждение, как гипотезу Ферма (для любых целых x, y, z и целого n>2 невозможно равенство: xn + =yn zn - авт.). Хотя мы не знаем ни её доказательства, ни опровержения, мы уверены, что она либо истинна, - либо ложна. Эта уверенность основана на абстракции возможности произвести бесконечно много арифметических действий (или "раскладываний на кучки"), перебрав все суммы степеней пар целых чисел. Вообще, понятие об истинности (большинства) математических утверждений включает в себя представление о таких бесконечных сериях проверок. Между тем всякое математическое доказательство, т.е. рассуждение, состоящее из последовательного применения аксиом или логических правил вывода, есть существенно конечная процедура" [1, с. 140].
Итак, из четырёх базовых направлений обоснования математики в XX веке ни одно не имело явного приоритета. Что-то принималось математическим сообществом, что-то резко критиковалось. В поисках преодоления неполноты и неопределённости классической математической науки математики выдвигали обозначенные выше концепции (в полной мере с ними можно ознакомиться у Рузавина в [2], Перминова в [3] и Светлова в [4]), но все они имели слабые места. Неопределённости, например, в конструктивизме и интуиционизме были видны с высокой степенью очевидности, а, например, в том же формализме неопределённости были глубоко скрытыми и обнаружились только после опубликования идей Гёделя. Если бы не это открытие, концепция Гильберта, возможно, одержала бы верх в этой жаркой борьбе идей А, возможно, судьба программы формализма Гильберта была предрешена, ведь помимо Гёделя к похожей идее независимо пришёл и его современник - логик А. Тарский, сформулировавший её в своей теореме об истине: множество всех истинных высказываний непротиворечивой формализованной системы, включающей элементарную арифметику, неопределимо в этой системе [4, с. 157]..
Однако все попытки обосновать математику в XX веке не были пустой тратой интеллектуальных сил, как не были пустой тратой сил попытки на протяжении веков доказать V постулат Евклида. Точные науки получили большой импульс к развитию. Логицизм Фреге и Рассела расширил и укрепил математическую логику. А это, фактически, арматура здания всей науки. Современная математическая логика - наследие той эпохи. Формализм Гильберта вообще является образцом для построения математической теории, претендующей на право быть строгой, но в то же время прозрачной. А конструктивизм и интуиционизм весьма сильно сблизили математику и недавно появившуюся вычислительную технику - ЭВМ стала настоящим продолжением математики, её материальным воплощением, а сама математика и математическая логика послужили базой для построения всех языков программирования. Появилось качественно новое понятие компьютерного эксперимента в математике. Вообще, в науке почти никакое подлинно интеллектуальное усилие не пропадает даром. Вопрос лишь в том, когда его оценят.