Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

ВВЕДЕНИЕ

Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.

Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.

Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.

Часть задач была заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика. Задачник, 1982.

Пособие включает теоретическую базу и решение основных задач для типового расчета по всем разделам дифференциального исчисления, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность».

3

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТАНАЛИЗА

1.1.Логическая и математическая символика

Вматематике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение.

Математические символы: +, −, ×, <, , , , ∩, , …

Например, применяя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения: «число a больше числа b». Если l1 , l2 – обозначения

прямых, то запись l1 || l2 есть утверждение, что l1 параллельна l2 . Запись «x M» означает, что x является элементом множе-

ства M.

Наряду с математической символикой в математике широко используется логическая символика, применяемая к вы-

сказываниям и предикатам.

Под высказыванием понимается предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 × 2 = 4» истинное. Будем высказывания обозначать большими латинскими буквами, возможно с индексами. Например, A = «–3 > 0», B = «2 × 2 = 4».

Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение: «число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, апредложение: «a + b = c» – предикатоттрех переменных a, b, c.

Предикат при конкретных значениях переменных становится высказыванием, принимая истинное и ложное значение.

Будем обозначать предикаты как функции: Q(x) =«x > 0», F(x,b,c) = «x + b = c».

Логические символы: , &, , →, ↔, , .

4

1.Отрицание применяется к одному высказыванию

или предикату, соответствует частице «не» и обозначается

A (или ¬A) .

Например, формула −3 > 0 есть сокращение для предложения: «–3 не больше 0» («неверно, что –3 больше 0»).

2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям

или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается:

А & B (или A B).

Так формула (–3 > 0) & (2 × 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 × 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3. Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается A B .

Предложение: «число x принадлежит множеству M1 или множеству M 2 » изображается формулой: x M1 x > M 2 .

4. Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается: A →B.

Так, запись «a > –1 → a > 0» есть сокращение для предложения«еслиa > –1, тоa > 0».

5. Эквиваленция A ↔B соответствует предложению: «A тогда и только тогда, когда B».

Символы , называются кванторами общности и

существования, соответственно применяются к предикатам (а не к высказываниям). Квантор читается, как «любой», «каждый», «все», или с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и т.д. Квантор читается: «существует», «найдется» и др.

6. Квантор общности применяется к предикату F(x, ...), содержащему одну переменную (например, x) или несколько переменных, при этом получается формула xF(x,...), которая соответствует предложению: «для любого x выполняется F(x, ...)» или «все x обладают свойством F(x, ...)».

Например: x(x > 0) есть сокращение для фразы: «любое x больше 0», которая является ложным высказыванием.

5