Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

ях параметра t ={0;2π} . При переходе параметра через крити-

няет знак с минуса на плюс. Отсюда следует, что касательная к графику функции в точках x ={0;2πa} параллельна оси Оу,

При t = π вторая производная y′xx′ < 0 , т.e. точка x = π a точка максимума функции у = 2а. Более того, поскольку y′xx′ < 0 нa всем интервале t [0,2π], то кривая на этом интервале выпукла вверх.

При изменении t от 0 до π производная y′x > 0 , следовательно, кривая возрастает. При изменении t от π до2π производная y′x < 0 , следовательно, кривая убывает. Все сказанное

позволяет представить график в виде (рис. 2.64). Полученная кривая представляет траекторию точки круга радиуса а катящегося без скольжения по прямой Ох за время одного оборота круга и называется циклоидой.

Рис. 2.64

в) Функция определена при всех значениях t, кроме t = -1. При t = 0 координаты х = 0, y = 0 и при t → ±∞ координаты x, y → 0 , т. е. начало координат служит особой точкой и

в нем кривая сама себя пересекает.

236

Найдем наклонную асимптоту. Угловой коэффициент ра-

Отсюда уравнение асимптоты x + y + a = 0.

При изменении t от − ∞до -1 , точка (х,у) из начала координат удаляется в бесконечность, причем значения х - положительны, а у - отрицательны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной в четвертом квадранте.

При изменении t от -1 до 0 точка (х,у) из бесконечности возвращается к началу координат, причем значения x - отрицательны, а у - положительны, т. е. ограничены асимптотой, расположенной во втором квадранте. При изменении t от 0 до− ∞ точка описывает против часовой стрелки петлю, расположенную, судя по значениям х,у, в первом квадранте.

Обозначая t = xy , нетрудно перейти к уравнению функ-

ции в неявном видe F(x, y) = x3 + y3 −3axy = 0 . Находим производные

Приравнивая y′x = 0 и решая это уравнение совместно с уравнением F(x,y) = 0, находим критические точки х = 0, у = 0 и x = a3 2, y = a3 4 . Вычислим y′xx′ при x = a3 2 по формуле

237

ждать, что касательными в этой точке служат оси координат. Учитывая все это, представим график функции (рис. 2.65). Полученная кривая называется декартовым листом.

Рис. 2.65.

2.15. Формула Тейлора и Маклорена

10. Если функция f (x) определена и дифференцируема n +1 раз в некоторой окрестности точки x0 = a , то она может

быть представлена в виде суммы многочлена n-ой степени и остаточного члена Rn (формула Тейлора)

238

остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Тейлора (n-го порядка) позволяет представить функ-

лорена. К этому частному случаю формулу Тейлора можно

свести с помощью перехода к новой независимой переменной

ξ = x −a .

Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в форме Пеано Rn = O((x −a)n ) , которая в ряде случаев бывает более удобна (вычисление пределов). Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид Rn = O(x)n .

239

значении х при n → ∞ остаточный член стремится к нулю и чем больше n, тем точнее разложение. При x = 1 можно получить формулу для приближенного вычисления числа е

e =1+11! + 21! + 31! +... + n1! . б) Пусть f (x) = sin x , тогда f (0) = 0 ;

240